soit l’indice à partir duquel n’appartient plus à , soit la distance de à , soit , l’intervalle provenant de la subdivision des intervalles contigus à et tel que l’on ait
est le plus petit entier au moins égal à la fois à et à .
II. — Les fonctions primitives des dérivées partout finies.
Soit une fonction dérivée partout finie dans ; nous avons, dans ce qui précède, appris à trouver la fonction primitive quand est sommable. Il est clair que les procédés de Cauchy et Dirichlet nous permettent d’atteindre, à partir de là, la fonction primitive de quand les points de non-sommabilité[1] de forment un ensemble réductible. Bornons-nous au cas où les deux extrémités de l’intervalle considéré sont les seuls points de non-sommabilité de ; alors on peut obtenir la fonction primitive par un passage à la limite et en particulier on a
quand on fait tendre vers et vers , de façon que l’on ait
De ce cas particulier nous allons de suite déduire un résultat très étendu. Remarquons pour cela que les points de non-sommabilité d’une fonction forment nécessairement un ensemble fermé , puisque, si est point de sommabilité, c’est-à-dire si est intérieur à un intervalle dans lequel est sommable, tous les points suffisamment voisins de , pour être intérieurs au même intervalle, sont aussi des points de sommabilité.
Dire qu’un point appartient à , c’est dire que n’est sommable dans aucun intervalle contenant ce point ; mais ce n’est pas dire, remarquons-le bien, que n’est pas sommable sur autour de ce point. Nous allons examiner précisément le cas où est sommable sur .
- ↑ Points dans le voisinage desquels n’est pas sommable.