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LA TOTALISATION.

soit $\alpha$ l’indice à partir duquel $\mathrm {X}$ n’appartient plus à $e_{\alpha }$, soit $l$ la distance de $\mathrm {X}$ à $e_{\alpha }$, soit ${(x_{i},x_{i+1})}$, l’intervalle provenant de la subdivision des intervalles contigus à $e_{\alpha }$ et tel que l’on ait

$x_{i}\leqq \mathrm {X} <x_{i+1}$,

$p$ est le plus petit entier au moins égal à la fois à ${\frac {1}{l}}$ et à ${\frac {\mathrm {X} -x_{i}}{x_{i+1}-\mathrm {X} }}$.

II. — Les fonctions primitives des dérivées partout finies.

Soit $f(x)$ une fonction dérivée partout finie dans ${(a,b)}$ ; nous avons, dans ce qui précède, appris à trouver la fonction primitive $f(x)$ quand $f(x)$ est sommable. Il est clair que les procédés de Cauchy et Dirichlet nous permettent d’atteindre, à partir de là, la fonction primitive de $f(x)$ quand les points de non-sommabilité^[1] de $f(x)$ forment un ensemble réductible. Bornons-nous au cas où les deux extrémités de l’intervalle considéré ${(a,b)}$ sont les seuls points de non-sommabilité de $f(x)$ ; alors on peut obtenir la fonction primitive ${\mathrm {F} (x)}$ par un passage à la limite et en particulier on a

$\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)=\lim {[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )]}$

quand on fait tendre $\alpha$ vers $a$ et $\beta$ vers $b$, de façon que l’on ait

$a<\alpha <\beta <b$.

De ce cas particulier nous allons de suite déduire un résultat très étendu. Remarquons pour cela que les points de non-sommabilité d’une fonction $f(x)$ forment nécessairement un ensemble fermé $\mathrm {E}$, puisque, si $x_{0}$ est point de sommabilité, c’est-à-dire si $x_{0}$ est intérieur à un intervalle dans lequel $f(x)$ est sommable, tous les points suffisamment voisins de $x_{0}$, pour être intérieurs au même intervalle, sont aussi des points de sommabilité.

Dire qu’un point appartient à $\mathrm {E}$, c’est dire que $f(x)$ n’est sommable dans aucun intervalle contenant ce point ; mais ce n’est pas dire, remarquons-le bien, que $f(x)$ n’est pas sommable sur $\mathrm {E}$ autour de ce point. Nous allons examiner précisément le cas où $f(x)$ est sommable sur $\mathrm {E}$.

1. Points dans le voisinage desquels $f(x)$ n’est pas sommable.