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CHAPITRE X.

tion $\mathrm {O} _{\mu }$, pour laquelle il n’y a pas d’ensemble exceptionnel $e_{\mu }$, c’est-à-dire faisant connaître ${\varphi (x)}$ dans tout ${(a,b)}$.

Montrons maintenant que ${\varphi (x)}$ est de classe un au plus dans l’intervalle ${(a,b)}$ que nous noterons $e_{0}$.

$\mathrm {X}$ étant un point quelconque de $e_{0}$, $\mathrm {X}$ appartient à des ensembles $e_{0}$, $e_{1}$, …, mais comme $e_{\mu }$ n’existe pas, il y a un premier indice $\alpha$, au plus égal à $\mu$, et à partir duquel $\mathrm {X}$ n’appartient plus à $e_{\alpha }$. $\alpha$ est d’ailleurs de première espèce ; un point, appartenant à tous les $e_{\beta }$ d’indices inférieurs à un nombre $\gamma$ de seconde espèce, appartient en effet à $e_{\gamma }$ par définition même de $e_{\gamma }$. La fonction ${\varphi (x)}$ a donc été définie au point $\mathrm {X}$ à l’opération $\mathrm {O} _{\alpha }$ et par l’intermédiaire d’un intervalle ${(x_{i},x_{i+1})}$ contenant $\mathrm {X}$ et provenant de la subdivision d’un intervalle contigu à $e_{\alpha }$. Si $\mathrm {X}$ est distant de $e_{\alpha }$ de ${\frac {1}{p}}$ au moins, et si l’on a

$x_{i}\leqq \mathrm {X} \leqq {\frac {p\,x_{i+1}+x_{i}}{p+1}}$,

nous poserons

$\varphi _{p}(\mathrm {X} )=\varphi (\mathrm {X} )$.

Nous poserons

$\varphi _{p}(a)=\varphi (a)=f(a)$et$\varphi _{p}(b)=\varphi (b)=f(b)$.

Les points en lesquels ${\varphi _{p}(x)}$ est ainsi définie, les points $a$ et $b$ mis à part, se répartissent naturellement en ensembles fermés ; $\mathrm {E} _{\alpha }$ sera l’ensemble de ceux des points $\mathrm {X}$ appartenant à tous les $e_{\beta }$, pour lesquels $\beta$ est inférieur à $\alpha$, et n’appartenant pas à $e_{\alpha }$, auxquels s’applique notre définition de ${\varphi _{p}(x)}$.

Les différents $\mathrm {E} _{\alpha }$ sont à la distance ${\frac {1}{p}}$ au moins les uns des autres, donc il y en a au plus ${p(b-a)}$ qui existent effectivement. Chacun d’eux se décompose par la considération des intervalles ${\left(x_{i},{\frac {p\,x_{i+1}+x_{i}}{p+1}}\right)}$ en un nombre fini d’ensembles fermés et, sur chacun de ceux-ci, ${\varphi (x)}$, donc ${\varphi _{p}(x)}$, est constante.

Finalement ${\varphi _{p}(x)}$ est définie par la condition d’être constante sur un nombre fini d’ensembles fermés séparés les uns des autres ; donc on peut compléter la définition de ${\varphi _{p}(x)}$ dans ${(a,b)}$ de façon que ${\varphi _{p}(x)}$ soit continue dans tout ${(a,b)}$.

Il est clair que ${\varphi (x)}$ est la limite des fonctions ${\varphi _{p}(x)}$ quand $p$ augmente indéfiniment ; en tout point $\mathrm {X}$ on a en effet ${\varphi (x)=\varphi _{p}(x)}$ à partir d’une certaine valeur de $p$ que l’on détermine ainsi :