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CHAPITRE X.

ensemble fermé partout non dense sur $\mathrm {F}$, puisque $f(x)$ est ponctuellement discontinue sur $\mathrm {F}$.

${(\alpha ,\beta )}$ étant l’un quelconque des intervalles contigus à $\Phi$, subdivisons-le en deux intervalles égaux ${(\alpha ,z_{0})}$, ${(z_{0},\beta )}$ ; subdivisons chacun d’eux en deux intervalles égaux, cela nous donne, en particulier, les deux intervalles extrêmes ${(\alpha ,z_{-1})}$, ${(z_{1},\beta )}$ que nous subdivisons en deux intervalles égaux par les points $z_{-2}$ et $z_{2}$ respectivement. Continuons de même en subdivisant les intervalles extrêmes ${(\alpha ,z_{-2})}$, ${(z_{2},\beta )}$ en deux intervalles égaux, etc. L’intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ considéré se trouve ainsi divisé en une suite, infinie dans les deux sens, d’intervalles ${(z_{i},z_{i+1})}$. Dans ${(z_{i},z_{i+1})}$ il n’y a pas de points en lesquels l’oscillation de $f(x)$ sur $\mathrm {F}$ surpasse ${\frac {\eta }{2}}$ donc, en subdivisant ${(z_{i},z_{i+1})}$ en assez de parties égales, les oscillations de $f(x)$ sur les parties de $\mathrm {F}$ contenues dans chacun de ces intervalles partiels ne surpasseront pas $\eta$.

Supposons, pour fixer les idées, que l’on prenne toujours le plus petit nombre de parties qui conduise à ce résultat ; on aura ainsi subdivisé ${(\alpha ,\beta )}$ à l’aide de points

$\ldots <x_{-2}<x_{-1}<x_{0}={\frac {\alpha +\beta }{2}}<x_{1}<x_{2}<\ldots$.

Nous convenons, pour les points de $\mathrm {F}$ tels que l’on ait

$x_{i}\leqq x<x_{i+1}$,

de prendre

$\varphi (x)={\frac {l_{i}+\mathrm {L} _{i}}{2}}$,

$l_{i}$ et $\mathrm {L} _{i}$ étant les limites inférieure et supérieure des valeurs prises par $f(x)$ sur la partie de $\mathrm {F}$ située dans ${(x_{i},x_{i+1})}$.

Si $a$ appartient à $\mathrm {F}$ sans appartenir à $\Phi$, on posera ${\varphi (a)=f(a)}$ et de même si $b$ appartient à $\mathrm {F}$ sans appartenir à $\Phi$, on posera ${\varphi (b)=f(b)}$.

Il est clair que ${\varphi (x)}$, maintenant définie par tout point n’appartenant pas à $\Phi$, diffère de $f(x)$ de $\eta$ au plus en dehors de $\Phi$.

Nous allons indiquer comment la répétition transfinie de ce procédé permet de déterminer ${\varphi (x)}$ dans tout ${(a,b)}$, puis nous prouverons que ${\varphi (x)}$ est de classe un au plus en dehors de $\Phi$.

Appliquons notre procédé au cas où $\mathrm {F}$ est tout l’intervalle ${(a,b)}$ ;