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CHAPITRE X.

Si maintenant nous prenons des nombres $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$, … tendant vers zéro, nous pourrons trouver des intervalles $i_{1}$, $i_{2}$, … contenus les uns dans les autres, contenant des points de $\mathrm {E}$, et dans lesquels l’oscillation de $f$, sur $i$, sera respectivement au plus $2\varepsilon _{1}$, $2\varepsilon _{2}$, …. À l’intérieur de tous ces intervalles $i_{k}$, il existera au moins un point de $\mathrm {E}$ ; en ce point, $f$ est continue sur $\mathrm {E}$.

Pour démontrer que la condition est suffisante, prouvons d’abord qu’il suffit que, quel que soit ${\varepsilon >0}$, une fonction $f$ diffère de moins de $\varepsilon$ d’une fonction $f_{\varepsilon }$ de classe un au plus, pour que $f$ soit de classe un au plus.

En effet, supposons que $f$ diffère de moins de ${\frac {1}{2^{k}}}$ d’une fonction $f_{\frac {1}{2^{k}}}$ de classe un. Alors on peut écrire

$f=f_{\frac {1}{2}}+\left(f_{\frac {1}{2^{2}}}-f_{\frac {1}{2}}\right)+\left(f_{\frac {1}{2^{3}}}-f_{\frac {1}{2^{2}}}\right)+\ldots =\textstyle \sum f^{k}$,

la série est uniformément convergente, a ses termes majorés par ceux de la série ${\sum \left({\frac {1}{2^{k}}}+{\frac {1}{2^{k-1}}}\right)}$, et tous ses termes sont de classe un au plus.

Donc $f^{k}$ est la limite d’une suite de fonctions continues $\varphi _{p}^{k}$ et comme $|f^{k}|$ ne surpasse pas ${{\frac {1}{2^{k}}}+{\frac {1}{2^{k-1}}}}$, si l’on pose, pour $k>1$,

$\psi _{p}^{k}=\varphi _{p}^{k}$,	lorsque l’on a	$\left\vert \varphi _{p}^{k}\right\vert \leqq$	${\frac {1}{2^{k}}}+{\frac {1}{2^{k-1}}}\;\;\,$ ;
$\psi _{p}^{k}=\quad \;\;\,{\frac {1}{2^{k}}}+{\frac {1}{2^{k-1}}}$,	»	$\left\vert \varphi _{p}^{k}\right\vert >$	${\frac {1}{2^{k}}}+{\frac {1}{2^{k-1}}}\;\;\,$ ;
$\psi _{p}^{k}=-\left({\frac {1}{2^{k}}}+{\frac {1}{2^{k-1}}}\right)$,	»	$\left\vert \varphi _{p}^{k}\right\vert <$	$-\left({\frac {1}{2^{k}}}+{\frac {1}{2^{k-1}}}\right)$ ;

pour $k$ fixe et $p$ croissant indéfiniment, la suite des $\psi _{p}^{k}$ a même limite que celle des $\varphi _{p}^{k}$.

Posons enfin

$\Psi _{p}=\varphi _{p}^{1}+\psi _{p}^{2}+\psi _{p}^{3}+\ldots$ ;

$\Psi _{p}$ est une fonction continue car la série du second membre a ses termes majorés, à partir du second, par ceux de la série

$\sum \left({\frac {1}{2^{k}}}+{\frac {1}{2^{k-1}}}\right)$.