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CHAPITRE I.
et formons la somme
,
où est un nombre quelconque compris entre et . On démontre que tend vers un nombre déterminé quand le maximum de tend vers zéro d’une manière quelconque.
Le nombre ainsi obtenu s’appelle l’intégrale définie de la fonction dans l’intervalle . Depuis Fourier, on le représente par la notation .
Ce symbole n’a jusqu’à présent de sens que dans les intervalles positifs , ; par définition, on pose
.
Il est évident que l’on a, quels que soient , , ,
.
Remarquons encore que si et sont les limites supérieure et inférieure de dans , est comprise entre et . La fonction continue prenant toutes les valeurs entre et , y compris les valeurs et , on peut écrire
,
étant compris entre et [1] ; c’est le théorème des accroissements finis.
- ↑ Cette démonstration n’exclut pas les égalités , . Dans certains cas il est bon de prouver qu’on peut choisir différent de et ; la démonstration est immédiate.
Le théorème considéré est le théorème des accroissements finis pour la fonction
;
il fournit, en effet, une expression de l’accroissement subie par quand on passe de à .