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CHAPITRE I.

et formons la somme

$\mathrm {S} =(a_{1}-a_{0})f(x_{1})+(a_{2}-a_{1})f(x_{2})+\ldots +(a_{n}-a_{n-1})f(x_{n})$,

où $x_{i}$ est un nombre quelconque compris entre $a_{i-1}$ et $a_{i}$. On démontre que $\mathrm {S}$ tend vers un nombre déterminé $\mathrm {S(X)}$ quand le maximum de ${a_{i}-a_{i-1}}$ tend vers zéro d’une manière quelconque.

Le nombre $\mathrm {S(X)}$ ainsi obtenu s’appelle l’intégrale définie de la fonction $f(x)$ dans l’intervalle $(a,\mathrm {X} )$. Depuis Fourier, on le représente par la notation $\int _{a}^{\mathrm {X} }f(x)\,\mathrm {d} x$.

Ce symbole n’a jusqu’à présent de sens que dans les intervalles positifs ${(a,\mathrm {X} )}$, $(\mathrm {X} \geqq a)$ ; par définition, on pose

$\int _{a}^{\mathrm {X} }f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\mathrm {X} }^{a}f(x)\,\mathrm {d} x=0$.

Il est évident que l’on a, quels que soient $a$, $b$, $c$,

$\int _{a}^{b}+\int _{b}^{c}+\int _{c}^{a}=0$.

Remarquons encore que si $\mathrm {L}$ et $l$ sont les limites supérieure et inférieure de $f(x)$ dans ${(a,b)}$, $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$ est comprise entre ${\mathrm {L} (b-a)}$ et ${l(b-a)}$. La fonction continue $f(x)$ prenant toutes les valeurs entre $l$ et $\mathrm {L}$, y compris les valeurs $l$ et $\mathrm {L}$, on peut écrire

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=(b-a)f(\xi )$,

$\xi$ étant compris entre $a$ et $b$^[1] ; c’est le théorème des accroissements finis.

1. Cette démonstration n’exclut pas les égalités ${\xi =a}$, ${\xi =b}$. Dans certains cas il est bon de prouver qu’on peut choisir $\xi$ différent de $a$ et $b$ ; la démonstration est immédiate.

   Le théorème considéré est le théorème des accroissements finis pour la fonction

   $\mathrm {S} (x)={\text{const.}}+\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} x$ ;
   il fournit, en effet, une expression de l’accroissement ${\mathrm {S} (b)-\mathrm {S} (a)}$ subie par $\mathrm {S} (x)$ quand on passe de $a$ à $b$.