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LA TOTALISATION.

L’ensemble $\mathrm {E} _{n,p}$ est fermé, $\mathrm {E} _{n}$ est donc aussi fermé. $\mathrm {E}$ est la somme des $\mathrm {E} _{n}$.

Je dis que l’on peut trouver un intervalle $\mathrm {I}$, dans lequel il y a des points de $\mathrm {E}$, et dans lequel $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} _{n}$ sont identiques pour une valeur assez grande de $n$^[1]. Soit $\mathrm {I} _{0}$ un intervalle contenant des points de $\mathrm {E}$ ; si $\mathrm {E} _{1}$ n’est pas identique à $\mathrm {E}$ dans $\mathrm {I} _{0}$, considérons un point $x_{0}$ de $\mathrm {E}$ et de $\mathrm {I} _{0}$ n’appartenant pas à $\mathrm {E} _{1}$^[2], $\mathrm {I} _{1}$ étant un intervalle de milieu $x_{0}$ et pris assez petit, $\mathrm {I} _{1}$ sera intérieur à $\mathrm {I} _{0}$, il contiendra des points de $\mathrm {E}$ et aucun point de $\mathrm {E} _{1}$.

Si, dans $\mathrm {I} _{1}$, $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} _{2}$ ne sont pas identiques, on pourra, dans $\mathrm {I} _{1}$, trouver un point $x_{1}$ appartenant à $\mathrm {E}$ sans appartenir à $\mathrm {E} _{2}$, à partir duquel on définirait un intervalle $\mathrm {I} _{2}$ contenu dans $\mathrm {I} _{1}$, contenant des points de $\mathrm {E}$ et aucun point de $\mathrm {E} _{2}$, etc.

Or la suite des $\mathrm {I} _{1}$, $\mathrm {I} _{2}$, … ne peut être indéfinie car, à l’intérieur de tous ces intervalles, il y aurait des points ; ceux-ci appartiendraient à $\mathrm {E}$ et n’appartiendraient à aucun des $\mathrm {E} _{n}$, ce qui est impossible^[3]. Donc on arrivera à un dernier intervalle, soit $\mathrm {I} _{p}$, et, dans $\mathrm {I} _{p}$, $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} _{p+1}$ sont identiques.

Ainsi, on peut trouver un intervalle $\mathrm {I}$ et une valeur de $n$ tels que, dans $\mathrm {I}$, $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} _{n}$ soient identiques et aient effectivement des points. Dans $\mathrm {I}$ prenons $i$, contenant des points de $\mathrm {E}$, et tel que l’oscillation de $f_{n}$ soit, dans $i$, inférieure à $\varepsilon$. Alors, pour $x_{1}$ et $x_{0}$ pris dans $i$ et sur $\mathrm {E}$, on a, quel que soit $p$ positif ou nul,

$|f_{n+p}(x_{1})-f_{n}(x_{1})|\leqq \varepsilon$,$|f_{n}(x_{0})-f_{n}(x_{1})|\leqq \varepsilon$,

d’où

$|f_{n+p}(x_{1})-f_{n}(x_{0})|\leqq 2\varepsilon$,

et par suite

$|f(x_{1})-f(x_{0})|\leqq 2\varepsilon$.

En d’autres termes, dans $i$, $f$ et les $f_{n+p}$ ($p$ positif ou nul) sont chacune constante à $2\varepsilon$ près et, lorsque $x$ et $p$ varient, égales entre elles à $4\varepsilon$ près.

1. Par point contenu dans un intervalle, nous entendons ici un point compris entre les extrémités et différant de ces extrémités.
2. Je me dispense de préciser la loi des choix des $x_{0}$, $x_{1}$, …, $\mathrm {I} _{0}$, $\mathrm {I} _{1}$, … comme il conviendrait de le faire pour satisfaire aux exigences logiques indiquées page 67.
3. En d’autres termes, un ensemble parfait $\mathrm {E}$ ne peut être la somme d’un nombre fini ou d’une infinité dénombrable d’ensembles partout non denses sur $\mathrm {E}$.