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LA TOTALISATION.
L’ensemble est fermé, est donc aussi fermé. est la somme des .
Je dis que l’on peut trouver un intervalle , dans lequel il y a des points de , et dans lequel et sont identiques pour une valeur assez grande de [1]. Soit un intervalle contenant des points de ; si n’est pas identique à dans , considérons un point de et de n’appartenant pas à [2], étant un intervalle de milieu et pris assez petit, sera intérieur à , il contiendra des points de et aucun point de .
Si, dans , et ne sont pas identiques, on pourra, dans , trouver un point appartenant à sans appartenir à , à partir duquel on définirait un intervalle contenu dans , contenant des points de et aucun point de , etc.
Or la suite des , , … ne peut être indéfinie car, à l’intérieur de tous ces intervalles, il y aurait des points ; ceux-ci appartiendraient à et n’appartiendraient à aucun des , ce qui est impossible[3]. Donc on arrivera à un dernier intervalle, soit , et, dans , et sont identiques.
Ainsi, on peut trouver un intervalle et une valeur de tels que, dans , et soient identiques et aient effectivement des points. Dans prenons , contenant des points de , et tel que l’oscillation de soit, dans , inférieure à . Alors, pour et pris dans et sur , on a, quel que soit positif ou nul,
,
,
d’où
,
et par suite
.
En d’autres termes, dans , et les ( positif ou nul) sont chacune constante à près et, lorsque et varient, égales entre elles à près.
- ↑ Par point contenu dans un intervalle, nous entendons ici un point compris entre les extrémités et différant de ces extrémités.
- ↑ Je me dispense de préciser la loi des choix des , , …, , , … comme il conviendrait de le faire pour satisfaire aux exigences logiques indiquées page 67.
- ↑ En d’autres termes, un ensemble parfait ne peut être la somme d’un nombre fini ou d’une infinité dénombrable d’ensembles partout non denses sur .