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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.

d’arcs de la courbe contenant tous les points de cette courbe donnés par les valeurs de ${\mathcal {E}}_{s}''$^[1].

Si l’on corrige $s(t)$ de sa fonction des singularités, on a une fonction absolument continue

$\mathrm {AC} s(t)=s(t)-s_{s}(t)=\int _{0}^{t}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,\mathrm {d} t$,

qui a presque partout pour dérivée ${\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}$ ; mais ${s_{s}(t)}$ a presque partout une dérivée nulle. Donc, on a presque partout

${\overline {s'(t)}}^{2}={\overline {x'(t)}}^{2}+{\overline {y'(t)}}^{2}+{\overline {z'(t)}}^{2}$,

pour toute courbe rectifiable.

Exprimons les coordonnées des points de la courbe en fonction du paramètre ${s=s(t)}$ ; cette formule devient

$1={\overline {x'(s)}}^{2}+{\overline {y'(s)}}^{2}+{\overline {z'(s)}}^{2}$ ;

elle a lieu presque partout ; l’expression presque partout étant relative maintenant à la mesure par rapport à la variable $s$. Partout où elle a lieu $x'(s)$, $y'(s)$, $z'(s)$ existent et ne sont pas toutes trois nulles, donc : si l’on excepte les points d’une courbe rectifiable, donnés par un ensemble de mesure nulle de valeurs de l’arc $s$, en tout point de la courbe existe une tangente déterminée, et l’on a

${x_{s}'}^{2}+{y_{s}'}^{2}+{z_{s}'}^{2}=1$.

1. La démonstration montre que l’on peut remplacer dans cet énoncé les mots « la limite inférieure de la somme des longueurs d’arcs » par « la limite inférieure de la limite de la somme des longueurs des cordes d’arcs ».