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CHAPITRE IX.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

l’on modifie la construction de la chaîne comme il suit : on opérera comme il a été indiqué seulement à l’extérieur des $p$ premiers intervalles, $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, …, $\delta _{p}$ constituant $\mathrm {A} ^{i}$ et l’on subdivisera $\delta _{2}$, …, $\delta _{p}$ en intervalles partiels extrêmement petits. Moyennant cette modification nous pourrons donc supposer, en choisissant convenablement les $\mathrm {A} ^{i}$, que la contribution des intervalles de l’espèce a diffère aussi peu qu’on le veut de la limite inférieure de ${\mathrm {V} _{s}(\mathrm {A} ^{i})}$, quand on fait tendre ${m(\mathrm {A} ^{i})}$ vers zéro, c’est-à-dire de la valeur ${s_{s}(b)}$ que prend pour ${t=b}$ la fonction des singularités ${s_{s}(t)}$ de ${s(t)}$.

D’autre part, la contribution des intervalles de l’espèce b est comprise entre

$\textstyle \sum \left[|p|-2\right]\varepsilon \,m(\alpha _{p})$et$\textstyle \sum \left[|p|+2\right]\varepsilon \,m(\mathrm {A} _{p})$,

$\alpha _{p}$ désignant la partie de $\mathrm {A} _{p}$ non couverte par $\mathrm {A} ^{i}$ et les autres $\mathrm {A} _{p}$. Mais nous avons vu que, moyennant un choix convenable de $\varepsilon$, de ${m(\mathrm {A} ^{i})}$ et des ${m(\mathrm {A} _{p})}$, tous pris suffisamment petits, les deux sommes précédentes diffèrent aussi peu qu’on le veut de

$\int _{\mathcal {E}}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,\mathrm {d} t$,

${\mathcal {E}}$ étant l’ensemble des points de ${(a,b)}$ qui n’appartiennent pas à ${\mathcal {E}}_{s}$. Avant de conclure remarquons que si nous avions formé ${\mathcal {E}}_{s}$ à l’aide des points où l’un des nombres $x'$, $y'$, $z'$ aurait été infini de signe bien déterminé, et ${\mathcal {E}}$ des points où $x'$, $y'$, $z'$ auraient été tous trois finis et déterminés, cela n’aurait changé ni la limite inférieure de ${\mathrm {V} _{s}(\mathrm {A} ^{i})}$, ni l’intégrale ${\int _{\mathcal {E}}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,\mathrm {d} t}$, donc :

Si l’on désigne par ${\mathcal {E}}$ l’ensemble des valeurs de $t$ pour lesquelles $x'(t)$, $y'(t)$, $z'(t)$ sont finies et déterminées, et par ${\mathcal {E}}_{s}$ l’ensemble des valeurs de $t$ pour lesquelles l’une au moins des dérivées $x'(t)$, $y'(t)$, $z'(t)$ a une valeur infinie de signe déterminé, la longueur de la courbe rectifiable $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ est égale à

$\int _{\mathcal {E}}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,\mathrm {d} t+s_{s}(b)$ ;

${s_{s}(b)}$ étant la limite inférieure de la somme des longueurs