l’on modifie la construction de la chaîne comme il suit : on opérera comme il a été indiqué seulement à l’extérieur des premiers intervalles, , , …, constituant et l’on subdivisera , …, en intervalles partiels extrêmement petits. Moyennant cette modification nous pourrons donc supposer, en choisissant convenablement les , que la contribution des intervalles de l’espèce a diffère aussi peu qu’on le veut de la limite inférieure de , quand on fait tendre vers zéro, c’est-à-dire de la valeur que prend pour la fonction des singularités de .
D’autre part, la contribution des intervalles de l’espèce b est comprise entre
désignant la partie de non couverte par et les autres . Mais nous avons vu que, moyennant un choix convenable de , de et des , tous pris suffisamment petits, les deux sommes précédentes diffèrent aussi peu qu’on le veut de
étant l’ensemble des points de qui n’appartiennent pas à . Avant de conclure remarquons que si nous avions formé à l’aide des points où l’un des nombres , , aurait été infini de signe bien déterminé, et des points où , , auraient été tous trois finis et déterminés, cela n’aurait changé ni la limite inférieure de , ni l’intégrale , donc :
Si l’on désigne par l’ensemble des valeurs de pour lesquelles , , sont finies et déterminées, et par l’ensemble des valeurs de pour lesquelles l’une au moins des dérivées , , a une valeur infinie de signe déterminé, la longueur de la courbe rectifiable , , est égale à
étant la limite inférieure de la somme des longueurs