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CHAPITRE IX.

moyennes de ${\mathcal {E}}_{3}$, ${\mathcal {E}}_{4}$, …, sont toutes supérieures à ${1-\varepsilon _{2}}$ dans les intervalles contenant $x_{0}$, contenus dans $\Delta _{2}$ et contenant $\Delta _{3}$, ….

Donc, la densité moyenne de $\mathrm {E}$ est au moins égale à ${1-\varepsilon _{1}}$, ${1-\varepsilon _{2}}$, …, respectivement dans les diverses espèces d’intervalles considérés ; la densité de $\mathrm {E}$ au point $x_{0}$ est donc égale à un et celle du complémentaire $\mathrm {CE}$ de $\mathrm {E}$ est par suite nulle, car la somme des densités moyennes, dans un même intervalle, de deux ensembles complémentaires est bien évidemment égale à un. Ainsi :

Une fonction mesurable $f(x)$ est continue en chaque point $x_{0}$ pourvu qu’on néglige les points d’un ensemble de densité nulle en $x_{0}$^[1], exception faite toutefois des points $x_{0}$ appartenant à un ensemble exceptionnel de mesure nulle.

De là résulte en particulier que les dérivées des fonctions ${\mathrm {F} (x)}$ à variation bornée, dont l’existence a été démontrée, sont presque partout continues aux ensembles de densité nulle près. Chacun pourra étudier les rapports entre cette continuité et la possibilité de dériver les fonctions d’ensemble intégrales indéfinies ; sans nous y arrêter, nous allons traiter rapidement de la rectification des courbes, ce qui va nous ramener aux procédés du début de ce paragraphe.

III. — La rectification des courbes.

Soit une courbe donnée par les fonctions continues $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ définies dans un certain intervalle ${(a,b)}$. En appliquant au radical qui représente la longueur d’une corde de cette courbe, l’inégalité

$|l|\leqq {\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}\leqq |l|+|m|+|n|$,

nous avons conclu, au Chapitre IV, que la courbe est rectifiable si, et seulement si, $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ sont à variation bornée ; et que, lorsque cette condition est réalisée, l’arc donné par les valeurs de $t$ d’un intervalle $\delta$ a une longueur comprise entre la variation totale ${\mathrm {V} x(\delta )}$ de $x$ dans $\delta$ [ou ${\mathrm {V} y(\delta )}$, ou ${\mathrm {V} z(\delta )}$], et la somme ${\mathrm {V} x(\delta )+\mathrm {V} y(\delta )+\mathrm {V} z(\delta )}$.

1. L’ensemble négligé, de densité nulle en $x_{0}$, varie avec le point $x_{0}$ ; c’est l’ensemble $\mathrm {CE}$ du texte.