Soit la fonction mesurable égale à un aux points de et nulle ailleurs, la densité moyenne de dans est le rapport incrémentiel , donc le théorème sur la dérivation de donne : la densité d’un ensemble mesurable est presque partout égale à un aux points de , presque partout égale à zéro en dehors de .
On peut regarder cette propriété comme le fondement géométrique des théorèmes sur la dérivation des intégrales définies et l’on peut, pour établir ces théorèmes, suivre une marche exactement inverse de celle suivie ici, c’est-à-dire prouver en premier lieu le théorème sur la densité[1]. Nous nous contenterons de déduire de ce théorème une proposition intéressante concernant une fonction mesurable quelconque , que nous allons obtenir en reprenant les notations utilisées pour étudier la dérivation des fonctions d’ensemble (p. 190).
Sauf aux points d’un ensemble exceptionnel de mesure nulle, les différents ensembles ont une densité égale à un ou à zéro, suivant qu’il s’agit de la densité en un point de ou non ; on peut supposer cet ensemble exceptionnel choisi de manière à convenir pour les valeurs 1, 12, 13, …, données à . ayant été choisi en dehors de cet ensemble exceptionnel, soit l’indice de celui des correspondant à , qui contient ; alors, en , pour chacune des valeurs indiquées de , a une densité égale à un, les autres ont une densité nulle.
Choisissons un intervalle de centre et assez petit pour que, dans tout intervalle contenu dans et contenant , la densité moyenne de soit supérieure à , étant un nombre, compris entre zéro et un, arbitrairement choisi. Soit la limite inférieure de cette densité moyenne dans les intervalles considérés.
Choisissons un nombre inférieur à la fois à et à , et soit un intervalle de milieu de longueur inférieure à et tel que,
- ↑ Voir, par exemple, mon Mémoire des Ann. Sc. de l’Éc. Norm., 1910.
