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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.

Enfin, il ne reste plus que le cas où $\mathrm {E} _{p}$ étant régulier et $\mathrm {E} _{n}$ irrégulier, ${\beta =0}$ ; avec ${\mathrm {E} \equiv \Delta }$ , on a alors

{\frac {\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x}{m(\mathrm {E} )}}<f(x_{0})-{\frac {\gamma }{4}}

.

Si donc ${\lambda >0}$ est plus petit à la fois que ${\frac {\beta }{4}}$ et ${\frac {\gamma }{4}}$ , on a toujours

\left\vert {\frac {\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x}{m(\mathrm {E} )}}-f(x_{0})\right\vert >\lambda

.

La suite de ces ensembles $\mathrm {E}$ , qui appartiennent à la famille régulière pour ${k={\frac {1}{4}}}$ , permet de constater que $x_{0}$ appartient à ${\mathcal {E}}_{1}$ ^[1].

Au cours des raisonnements précédents, nous avons rencontré une notion qu’il importe d’expliciter. Soit un ensemble mesurable $\mathrm {E}$ , le rapport ${\frac {m(e)}{\beta -\alpha }}$ , de la mesure de la partie $e$ de $\mathrm {E}$ située dans un intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ à la mesure de cet intervalle, est appelé la densité moyenne de $\mathrm {E}$ dans ${(\alpha ,\beta )}$ . Si la densité moyenne de $\mathrm {E}$ dans les intervalles ${(\alpha ,\beta )}$ contenant un point $x_{0}$ , tend vers une limite déterminée quand ${\beta -\alpha }$ tend vers zéro, cette limite est dite la densité en $x_{0}$ ; $x_{0}$ n’a pas besoin d’être un point de $\mathrm {E}$ pour que cette définition s’applique^[2].

↑ On trouvera dans un Mémoire relatif aux séries de Fourier, que j’ai publié dans les Math. Annalen (Bd LXI, 1905), une autre démonstration de ce théorème, d’où l’on pourrait déduire la proposition relative à la dérivabilité des fonctions d’ensemble qui sont des intégrales indéfinies d’une manière toute différente de celle qui nous a servi ici.
↑ J’ai introduit ces dénominations, qui s’imposent presque, étant donnés les sens physiques des mêmes expressions, dans le Mémoire cité des Math. Annalen. M. Denjoy remplace le mot densité par épaisseur ; il est choqué par des phrases telles que celle-ci : « Un ensemble partout non dense peut avoir presque partout une densité égale à un ». Il est certain qu’une telle phrase semble un calembour ; mais des deux mots dense et densité, c’est le premier qui est mal choisi, car il éveille, me semble-t-il, une idée de mesure, une idée quantitative.
Quoi qu’il en soit, le lecteur qui m’aura suivi jusqu’ici ne se laissera pas troubler par ces questions de mots puisqu’il aura consenti à s’occuper de la recherche de la définition de l’intégrale définie — ce qui peut paraître ridicule, — et de la définition de l’intégrale qui reste indéfinie même après qu’on l’a définie — ce qui est un peu humiliant.

[1] On trouvera dans un Mémoire relatif aux séries de Fourier, que j’ai publié dans les Math. Annalen (Bd LXI, 1905), une autre démonstration de ce théorème, d’où l’on pourrait déduire la proposition relative à la dérivabilité des fonctions d’ensemble qui sont des intégrales indéfinies d’une manière toute différente de celle qui nous a servi ici.

[2] J’ai introduit ces dénominations, qui s’imposent presque, étant donnés les sens physiques des mêmes expressions, dans le Mémoire cité des Math. Annalen. M. Denjoy remplace le mot densité par épaisseur ; il est choqué par des phrases telles que celle-ci : « Un ensemble partout non dense peut avoir presque partout une densité égale à un ». Il est certain qu’une telle phrase semble un calembour ; mais des deux mots dense et densité, c’est le premier qui est mal choisi, car il éveille, me semble-t-il, une idée de mesure, une idée quantitative.
Quoi qu’il en soit, le lecteur qui m’aura suivi jusqu’ici ne se laissera pas troubler par ces questions de mots puisqu’il aura consenti à s’occuper de la recherche de la définition de l’intégrale définie — ce qui peut paraître ridicule, — et de la définition de l’intégrale qui reste indéfinie même après qu’on l’a définie — ce qui est un peu humiliant.

[1]

[2]