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CHAPITRE IX.
que
![{\displaystyle {\frac {\int _{\mathrm {E} _{p}}\left[f(x)-f(x_{0})\right]\,\mathrm {d} x}{m(\Delta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac32e94800a7536e956f8cb50235434ebba2db3)
,
![{\displaystyle {\frac {\int _{\mathrm {E} _{n}}\left[f(x)-f(x_{0})\right]\,\mathrm {d} x}{m(\Delta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6946f7335fe36b6607fe807b2509cea4c94fbf66)
tendent vers deux limites déterminées 
et 
, et que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {\int _{\mathrm {E} _{p}}\left[f(x)-f(x_{0})\right]\,\mathrm {d} x}{m(\Delta )}}>{\frac {\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d37a01d0e73ba9c889abafe413459b1027fbf1c7)
ou
,
suivant que est positif ou nul, et
![{\displaystyle {\frac {\int _{\mathrm {E} _{n}}\left[f(x)-f(x_{0})\right]\,\mathrm {d} x}{m(\Delta )}}<-{\frac {\gamma }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fdcd3b22aae633e6a299183fa273e50c31f8af0)
ou
suivant que 
est positif ou nul.
Remarquons, au reste, que 
est au moins égal à 
, donc que et ne sont jamais nuls à la fois, et que
,
donc que l’un au moins des deux ensembles 
et 
appartient à la famille régulière d’ensemble de paramètre 
.
Si est régulier et 
, en prenant 
, on a
.
Si ces deux conditions ne sont pas réalisées à la fois et si est régulier et 
, on prend 
,
.
Si est irrégulier, , et si 
, est alors régulier ; nous prendrons 
et nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x}{m(\mathrm {E} )}}&={\frac {\int _{\mathrm {E} _{p}}f(x)\,\mathrm {d} x}{m(\Delta )}}+{\frac {\int _{\mathrm {E} _{n}}f(x)\,\mathrm {d} x}{m(\Delta )}}\\&>\left[f(x_{0}){\frac {m(\mathrm {E} _{p})}{m(\Delta )}}+{\frac {\beta }{2}}\right]+\left[f(x_{0}){\frac {m(\mathrm {E} _{n})}{m(\Delta )}}-{\frac {\beta }{4}}\right]\\&=f(x_{0})+{\frac {\beta }{4}}{\text{.}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6efbd4331457085e8872dc24e13ba2ec1e9caddc)
