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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.

Montrons, en effet, qu’il y a identité entre cet ensemble exceptionnel ${\mathcal {E}}$ et celui ${\mathcal {E}}_{1}$ des points $x_{0}$ en lesquels la fonction d’ensemble intégrale indéfinie de $f(x)$ n’admet pas une dérivée égale à $f(x_{0})$.

Supposons, en effet, que $x_{0}$ soit point de ce dernier ensemble ${\mathcal {E}}_{1}$, c’est-à-dire que l’on puisse trouver des ensembles $\mathrm {E}$ dont tous les points se rapprochent indéfiniment de $x_{0}$, qui appartiennent à une famille régulière de paramètre $k$ et pour lesquels on ait

$\left\vert {\frac {\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x}{m(\mathrm {E} )}}-f(x_{0})\right\vert >\alpha$,

$\alpha$ étant un nombre fixe non nul.

On a donc, a fortiori,

${\frac {\int _{\mathrm {E} }|f(x)-f(x_{0})|\,\mathrm {d} x}{m(\mathrm {E} )}}\geqq \left\vert {\frac {\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x-\int _{\mathrm {E} }f(x_{0})\,\mathrm {d} x}{m(\mathrm {E} )}}\right\vert >\alpha$,

et, par suite, si $\Delta$ est le plus petit intervalle contenant ${\mathrm {E} +x_{0}}$,

${\begin{aligned}{\frac {\int _{\Delta }|f(x)-f(x_{0})|\,\mathrm {d} x}{m(\Delta )}}&\geqq {\frac {\int _{\mathrm {E} }|f(x)-f(x_{0})|\,\mathrm {d} x}{m(\Delta )}}\\&={\frac {\int _{\mathrm {E} }|f(x)-f(x_{0})|\,\mathrm {d} x}{m(\mathrm {E} )}}\,{\frac {m(\mathrm {E} )}{m(\Delta )}}>k\alpha {\text{ ;}}\end{aligned}}$

ce qui montre que $x_{0}$ est point de ${\mathcal {E}}$.

Inversement, supposons $x_{0}$ point de ${\mathcal {E}}$, alors on peut trouver une suite d’intervalles $\Delta$, enfermant chacun $x_{0}$ et de longueurs décroissantes et tendant vers zéro, tels que pour chacun d’eux on ait

${\frac {\int _{\Delta }|f(x)-f(x_{0})|\,\mathrm {d} x}{m(\Delta )}}>\alpha$,

$\alpha$ étant un certain nombre positif.

Partageons les points de $\Delta$ en deux ensembles $\mathrm {E} _{p}$ et $\mathrm {E} _{n}$ dans lesquels la différence ${f(x)-f(x_{0})}$ est respectivement positive et non positive et ne conservons qu’une suite partielle des $\Delta$ de façon