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CHAPITRE IX.

En dehors d’un ensemble exceptionnel de mesure nulle, toutes les intégrales indéfinies ${\textstyle \int h_{i}\,\mathrm {d} x}$ ont des dérivées égales aux $h_{i}$ ; si donc $x_{0}$ a été pris en dehors aussi de ce nouvel ensemble exceptionnel, le dernier membre des relations précédentes tend vers zéro ; donc, le rapport incrémentiel ${\frac {\int _{\mathrm {E} }f\,\mathrm {d} x}{m(\mathrm {E} )}}$ a toutes ses limites comprises entre $l\varepsilon$ et ${(l+1)\varepsilon }$, c’est-à-dire différentes de $f(x_{0})$ au plus de $\varepsilon$. Mais, comme $\varepsilon$ est arbitrairement petit, si l’on prend $x_{0}$ en dehors de la somme des ensembles exceptionnels attachés aux valeurs ${\varepsilon =1}$, ${\frac {1}{2}}$, ${\frac {1}{3}}$, ${\frac {1}{4}}$, … c’est-à-dire en dehors d’un ensemble de mesure nulle, la dérivée de la fonction d’ensemble ${\textstyle \int _{\mathcal {E}}f\,\mathrm {d} x}$ sera $f(x_{0})$. Donc une intégrale indéfinie fonction d’ensemble a presque partout pour dérivée la fonction intégrée.

Nous avons donc le même énoncé pour les trois espèces d’intégrale indéfinie ; mais il faut bien remarquer que, sous sa dernière forme, il exprime une propriété bien plus précise que sous les deux premières formes qui étaient équivalentes. Si l’intégrale indéfinie ${\Psi (\mathrm {E} )}$ a une dérivée au point $x_{0}$, $\mathrm {F(X)}$ en a une aussi et ces deux dérivées sont égales ; mais la réciproque n’a pas lieu.

Il y a donc lieu de traduire en un énoncé relatif à $\mathrm {F(X)}$ le résultat que nous venons d’obtenir ; des développements relatifs au calcul de ${\Psi (\mathrm {E} )}$ connaissant $\mathrm {F(X)}$ résultent de suite cet énoncé : $\mathrm {F(X)}$ étant une fonction absolument continue dans ${(a,b)}$ et $x_{0}$ un point de ${(a,b)}$, on enferme $x_{0}$ dans un intervalle $\Delta$ et l’on choisit, dans $\Delta$, des intervalles non empiétants ${(\alpha _{i},\beta _{i})}$ tels que l’on ait

$\textstyle \sum (\beta _{i}-\alpha _{i})\geqq k\,m(\Delta )$,

$k$ étant un nombre positif fixe. Alors, presque partout on a

$\mathrm {F'} (x_{0})={\underset {\mathrm {mes} (\Delta )\to 0}{\operatorname {limite} }}{\frac {\sum [\mathrm {F} (\beta _{i})-\mathrm {F} (\alpha _{i})]}{\sum [\beta _{i}-\alpha _{i}]}}$.

On peut donner à cet énoncé la forme suivante : $f(x)$ étant une fonction sommable, la fonction ${\int \left\vert f(x)-f(x_{0})\right\vert \mathrm {d} x}$ admet une dérivée nulle pour ${x=x_{0}}$, pourvu que $x_{0}$ ne soit pas pris dans un certain ensemble exceptionnel de mesure nulle.