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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.
à , on a
,
;
désignant le plus petit intervalle contenant à la fois et . Le premier rapport du second membre tend vers la dérivée de en , laquelle est nulle par hypothèse. Donc nous n’aurons plus à nous occuper que de l’influence de , c’est-à-dire des points de , si le rapport n’augmente pas indéfiniment. D’où la définition : Nous appellerons dérivée en d’une fonction d’ensemble la limite, si elle existe, du rapport pour des ensembles appartenant à une famille régulière. On entend par là qu’un entier positif ayant été arbitrairement choisi, on ne considérera un ensemble que si, étant le plus petit intervalle contenant et , on a
,
et que l’on fera varier de façon que tende vers zéro.
Nous venons de voir qu’avec ce choix d’ensemble les deux rapports incrémentiels , avaient les mêmes limites presque partout. Étudions le second. Soit l’ensemble des points communs à et et soit ; on a
.
Le premier facteur du dernier membre est compris entre et ; quant au second, il s’écrit encore . Or, si désigne la fonction nulle dans et égale à un en dehors de , on a
.