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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.
à 
, on a
,
;
désignant le plus petit intervalle contenant à la fois 
et 
. Le premier rapport du second membre tend vers la dérivée de 
en , laquelle est nulle par hypothèse. Donc nous n’aurons plus à nous occuper que de l’influence de 
, c’est-à-dire des points de , si le rapport 
n’augmente pas indéfiniment. D’où la définition : Nous appellerons dérivée en d’une fonction d’ensemble 
la limite, si elle existe, du rapport 
pour des ensembles appartenant à une famille régulière. On entend par là qu’un entier positif 
ayant été arbitrairement choisi, on ne considérera un ensemble que si, étant le plus petit intervalle contenant et , on a
,
et que l’on fera varier de façon que 
tende vers zéro.
Nous venons de voir qu’avec ce choix d’ensemble les deux rapports incrémentiels 
, 
avaient les mêmes limites presque partout. Étudions le second. Soit 
l’ensemble des points communs à et 
et soit 
; on a
.
Le premier facteur du dernier membre est compris entre 
et 
; quant au second, il s’écrit encore 
. Or, si 
désigne la fonction nulle dans et égale à un en dehors de , on a
.
