Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/205

Cette page a été validée par deux contributeurs.

189

LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.

finie ${\mathrm {F} (x)}$ admet presque partout pour dérivée la fonction intégrée.

Si l’intégrale indéfinie est donnée comme fonction d’ensemble ou d’intervalle, le problème n’en est pas moins résolu. Examinons ce que devient alors l’opération de dérivation. Que $h$ soit positif ou négatif, le rapport ${r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]}$ est égal au quotient de la valeur de la fonction considérée $\Psi$ , pour l’intervalle $\delta$ d’extrémités $x_{0}$ et ${x_{0}+h}$ , par la mesure de cet intervalle

r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]={\frac {\Psi (\delta )}{m(\delta )}}

.

C’est donc par la considération de tels rapports qu’on obtiendra la dérivée ; avec la dérivée ordinaire, nous serions conduits à utiliser les deux familles d’intervalles ${(x_{0}-h,x_{0})}$ , ${(x_{0},x_{0}+h)}$ ayant le point étudié pour extrémité ou origine. Mais il est mieux de remarquer que la dérivée peut tout aussi bien se définir à l’aide des intervalles ${(x_{0}-h,x_{0}+k)}$ , car on a

{\begin{alignedat}{2}r[\mathrm {F} (x),x_{0}-h,x_{0}+k]&{}={}&&{\frac {h}{h+k}}\,r[\mathrm {F} (x),x_{0}-h,x_{0}]\\&&{}+{}&{\frac {k}{h+k}}\,r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+k]{\text{,}}\end{alignedat}}

ce qui montre que la valeur de $r$ du premier membre est comprise entre celles qui figurent au second membre. Nous sommes ainsi conduits à dire : pour dériver en un point $x_{0}$ la fonction d’intervalles ${\Phi (\delta )}$ , nous cherchons la limite du rapport ${\frac {\Phi (\delta )}{m(\delta )}}$ quand ${m(\delta )}$ tend vers zéro, $\delta$ désignant un intervalle variable contenant $x_{0}$ ^[1].

Cette définition ne laisse rien à désirer pour une fonction d’intervalle, mais pour une fonction d’ensemble on voudrait pouvoir prendre la limite de ${\frac {\Psi (\mathrm {E} )}{m(\mathrm {E} )}}$ quand ${m(\mathrm {E} )}$ tend vers zéro et que tout l’ensemble $\mathrm {E}$ tend vers $x_{0}$ ; c’est-à-dire que $\mathrm {E}$ est contenu dans un intervalle $\Delta$ contenant $x_{0}$ et dont la mesure tend vers zéro.

↑ On comparera cette définition, qui n’est que la traduction de la définition de la dérivée ordinaire, avec celle donnée par M. Volterra pour la dérivée d’une fonction de ligne (Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-différentielles, p. 12). La définition du texte peut évidemment être appliquée à des fonctions d’ensemble de points d’un plan, de l’espace, etc. Si on l’applique à un ensemble de points du plan, la parenté avec la définition de M. Volterra apparaît mieux.

[1] On comparera cette définition, qui n’est que la traduction de la définition de la dérivée ordinaire, avec celle donnée par M. Volterra pour la dérivée d’une fonction de ligne (Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-différentielles, p. 12). La définition du texte peut évidemment être appliquée à des fonctions d’ensemble de points d’un plan, de l’espace, etc. Si on l’applique à un ensemble de points du plan, la parenté avec la définition de M. Volterra apparaît mieux.

[1]