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CHAPITRE IX.

l’ensemble $\mathrm {E} ^{ip}$ de mesure nulle ; formons la limite supérieure de $\mathrm {P}$

$\sum _{0}^{\infty }\left[m(\mathrm {E} _{l})+\varepsilon _{l}\right]l\varepsilon +\mathrm {M} '\left[m(\mathrm {E} ^{ip})+\varepsilon ^{ip}\right]$.

Le premier terme est inférieur à ${\sum _{0}^{\infty }m(\mathrm {E} _{l})\,l\varepsilon +\zeta \varepsilon }$ ; pour $\zeta$ et $\varepsilon$ tendant vers zéro, il tend donc vers ${\int _{\mathrm {E} [0<\Lambda f<+\infty ]}\Lambda f\,\mathrm {d} x}$.

Puisque ${m(\mathrm {E} ^{ip})}$ est nulle, le second terme se réduit au produit ${\mathrm {M'} \varepsilon ^{ip}}$ d’un nombre arbitrairement grand par un nombre arbitrairement petit, il ne nous apprend donc rien.

Enfermons $\mathrm {E} ^{ip}$ dans un ensemble $\mathrm {I}$ d’intervalles non empiétants, supposons les $\mathrm {A} ^{ip}$ choisis enfermés dans $\mathrm {I}$. Alors, si $\mathrm {P(I)}$ désigne la somme des variations positives de $f$ dans les intervalles $\mathrm {I}$, le second terme ${\mathrm {M'} \varepsilon ^{ip}}$ est au plus $\mathrm {P(I)}$. Si donc on désigne par ${\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{ip})}$ l’une quelconque des limites de $\mathrm {P(I)}$ quand on fait varier $\mathrm {I}$ de façon que ${m(\mathrm {I} )}$ tende vers zéro, on aura

$\mathrm {P} \leqq \int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}\left[\Lambda f+|\Lambda f|\right]\,\mathrm {d} x+\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{ip})$,

les points de ${\mathrm {E} ^{i}=\mathrm {E} ^{ip}+\mathrm {E} ^{in}}$ étant exclus de l’intervalle d’intégration.

Soit $\mathrm {I} _{1}$ un ensemble formé d’un nombre fini des intervalles $\mathrm {I}$ choisis de façon que, lorsqu’on fait tendre ${m(\mathrm {I} )}$ vers zéro, $\mathrm {P(I_{1})}$ tende, comme $\mathrm {P(I)}$, vers ${\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{ip})}$. Soit $\mathrm {J} _{1}$ le complémentaire de $\mathrm {I} _{1}$ par rapport à ${(a,b)}$ ; $\mathrm {J} _{1}$ est formé d’un nombre fini d’intervalles, on peut donc appliquer une formule précédente et écrire

${\begin{aligned}\mathrm {P(J_{1})} &\geqq \int _{\mathrm {J} _{1}}{\frac {1}{2}}\left[\Lambda f+|\Lambda f|\right]\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}\left[\Lambda f+|\Lambda f|\right]\,\mathrm {d} x-\int _{\mathrm {I} _{1}}{\frac {1}{2}}\left[\Lambda f+|\Lambda f|\right]\,\mathrm {d} x{\text{,}}\end{aligned}}$

d’où, en ajoutant $\mathrm {P(I_{1})}$ aux deux membres,

$\mathrm {P} \geqq \int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}\left[\Lambda f+|\Lambda f|\right]\,\mathrm {d} x+\mathrm {P(I_{1})} -\int _{\mathrm {I} _{1}}{\frac {1}{2}}\left[\Lambda f+|\Lambda f|\right]\,\mathrm {d} x$.

Et comme, quand $m(\mathrm {I} )$ tend vers zéro, $m(\mathrm {I} _{1})$ tend vers zéro, donc aussi la dernière intégrale du second membre, tandis que $\mathrm {P(I_{1})}$