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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.

Une fonction continue et à variation bornée a ses nombres dérivés finis presque partout^[1] ; ses nombres dérivés sont sommables dans l’ensemble des points où ils sont finis ; ses trois variations totales $\mathrm {P}$ , $\mathrm {N}$ , $\mathrm {V}$ vérifient les relations

{\begin{alignedat}{2}\mathrm {P} &\geqq \int _{\mathrm {E} [0<\Lambda f]}&&\Lambda f\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}[\Lambda f+|\Lambda f|]\,\mathrm {d} x{\text{,}}\\\mathrm {N} &\geqq \int _{\mathrm {E} [\Lambda f<0]}&-&\Lambda f\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}[|\Lambda f|-\Lambda f]\,\mathrm {d} x{\text{,}}\end{alignedat}}

\mathrm {V} \geqq \int _{a}^{b}|\Lambda f|\,\mathrm {d} x

.

$\Lambda f$ étant l’un quelconque des quatre nombres dérivés ; les points où $\Lambda f$ est infini étant exclus des ensembles ou intervalles d’intégration.

Supposons maintenant le nombre dérivé supérieur à droite $\Lambda f$ sommable sur l’ensemble ${\mathrm {E} [0<\Lambda f<+\infty ]}$ et supposons

↑ Nous conviendrons de dire qu’une propriété a lieu presque partout dans un intervalle ${(a,b)}$ , ou sur un ensemble ${\mathcal {E}}$ , si les points de ${(a,b)}$ ou de en lesquels elle n’a pas lieu ou bien n’existent pas, ou bien forment un ensemble de mesure nulle.
Cette locution, introduite dans la première édition de ce Livre, a été généralement adoptée. Si l’on se rappelle que M. Denjoy n’a pas trouvé suffisamment précise et qu’il a rejeté l’expression : le point $\mathrm {P}$ est point de l’ensemble $\mathrm {E}$ , on ne s’étonnera pas qu’il ait jugé inadmissible la locution presque partout qui, à son avis, a deux sens : l’un qualitatif ou descriptif, l’autre quantitatif ou métrique. Je pense qu’il faut entendre par là qu’on aurait pu convenir de donner à presque partout la signification suivante : exception faite des points formant un ensemble partout non dense. Certes ; mais M. Denjoy dit qu’une propriété a lieu sur une épaisseur pleine quand je dis qu’elle a lieu presque partout. Épaisseur pleine n’aurait-elle pas pu recevoir une autre signification que celle qu’il a plu à M. Denjoy de lui donner ?

Presque partout serait inadmissible si, dans la langue usuelle, cette expression avait un sens précis, mais cela n’est pas ; de sorte que le lecteur, en présence de l’énoncé précédent par exemple, ne peut lui donner aucun sens précis sans se reporter à la définition posée pour presque partout. Aucune erreur n’est donc possible.

Obliger le lecteur à se reporter à une définition a son inconvénient. Je l’accorderais volontiers à n’importe qui, sauf à M. Denjoy qui a utilisé dans ses Mémoires un nombre formidable de mots nouveaux. Et ce n’est pas diminuer l’inconvénient que de modifier, fût-ce même pour le perfectionner, un vocabulaire dont l’usage commence à se répandre.

[1] Nous conviendrons de dire qu’une propriété a lieu presque partout dans un intervalle ${(a,b)}$ , ou sur un ensemble ${\mathcal {E}}$ , si les points de ${(a,b)}$ ou de en lesquels elle n’a pas lieu ou bien n’existent pas, ou bien forment un ensemble de mesure nulle.
Cette locution, introduite dans la première édition de ce Livre, a été généralement adoptée. Si l’on se rappelle que M. Denjoy n’a pas trouvé suffisamment précise et qu’il a rejeté l’expression : le point $\mathrm {P}$ est point de l’ensemble $\mathrm {E}$ , on ne s’étonnera pas qu’il ait jugé inadmissible la locution presque partout qui, à son avis, a deux sens : l’un qualitatif ou descriptif, l’autre quantitatif ou métrique. Je pense qu’il faut entendre par là qu’on aurait pu convenir de donner à presque partout la signification suivante : exception faite des points formant un ensemble partout non dense. Certes ; mais M. Denjoy dit qu’une propriété a lieu sur une épaisseur pleine quand je dis qu’elle a lieu presque partout. Épaisseur pleine n’aurait-elle pas pu recevoir une autre signification que celle qu’il a plu à M. Denjoy de lui donner ?

Presque partout serait inadmissible si, dans la langue usuelle, cette expression avait un sens précis, mais cela n’est pas ; de sorte que le lecteur, en présence de l’énoncé précédent par exemple, ne peut lui donner aucun sens précis sans se reporter à la définition posée pour presque partout. Aucune erreur n’est donc possible.

Obliger le lecteur à se reporter à une définition a son inconvénient. Je l’accorderais volontiers à n’importe qui, sauf à M. Denjoy qui a utilisé dans ses Mémoires un nombre formidable de mots nouveaux. Et ce n’est pas diminuer l’inconvénient que de modifier, fût-ce même pour le perfectionner, un vocabulaire dont l’usage commence à se répandre.

[1]