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CHAPITRE IX.
Supposons donc que les séries et soient convergentes et aient des sommes arbitrairement petites et . Et posons la condition :
3o Chaque intervalle de la chaîne est enfermé tout entier dans l’ensemble qui enferme l’ensemble auquel appartient son origine.
Alors est au plus égale à et au moins égale au plus grand des deux nombres : 0 ou ; pour on a des limites analogues. De là se déduisent des limites inférieure et supérieure pour ; la limite inférieure est
,
les termes positifs étant seuls conservés dans .
Cette somme ne contient donc qu’un nombre fini de termes, nombre variable avec . Ces termes sont inférieurs à ceux de
,
mais tendent respectivement vers ceux-ci pour tendant vers zéro.
Or on peut faire tendre vers zéro, d’où la limite
;
puis on peut prendre arbitrairement petit, arbitrairement grand, donc on a, l’intégrale ayant une valeur finie ou infinie,
,
quel que soit . ne sera donc fini que pour
et
finie. Concluons en nous rappelant que l’on aurait pu prendre pour l’un quelconque des quatre nombres dérivés, et qu’il y a pour une inégalité analogue à celle trouvée pour .