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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.

nulle, $\varepsilon$ étant un nombre positif, très petit, et en les ensembles

$\mathrm {E} [\Lambda f=+\infty ]=\mathrm {E} ^{ip}$,$\mathrm {E} [\Lambda f=-\infty ]=\mathrm {E} ^{in}$ ;

Puis nous poserons la condition :

2^o  Si $x_{0}$ est l’origine d’un intervalle ${(x_{0},x_{0}+h)}$ de la chaîne, on aura

${\begin{aligned}(l-1)\varepsilon \leqq {}&r[f(x),x_{0},x_{0}+h]\leqq (l+1)\varepsilon ,&&{\text{si }}x_{0}{\text{ est point de }}\mathrm {E} _{l}{\text{,}}\\\mathrm {M} \leqq {}&r[f(x),x_{0},x_{0}+h],&&{\text{si }}x_{0}{\text{ est point de }}\mathrm {E} ^{ip}{\text{,}}\\&r[f(x),x_{0},x_{0}+h]\leqq -\mathrm {M} ,&&{\text{si }}x_{0}{\text{ est point de }}\mathrm {E} ^{in}{\text{ ;}}\end{aligned}}$

$\mathrm {M}$ étant un nombre positif arbitrairement grand.

Les intervalles de la chaîne ayant pour origine des points de $\mathrm {E} ^{ip}$, des points des $\mathrm {E} _{l}$ à indice positif et certains points de $\mathrm {E} _{0}$ sont seuls à considérer dans le calcul de $\mathrm {P}$.

Les intervalles ayant pour origines des points de $\mathrm {E} ^{ip}$ ont une contribution de la forme $\mathrm {M'A} ^{ip}$, $\mathrm {M} '$ étant au moins égal à $\mathrm {M}$ et $\mathrm {A} ^{ip}$ étant la longueur totale des intervalles issus des points de $\mathrm {E} ^{ip}$. Ceux qui ont pour origines des points de $\mathrm {E} _{l}$, ${l>0}$, ont une contribution égale à leur longueur totale $\Lambda _{l}$ multipliée par un nombre compris entre ${(l-1)\varepsilon }$ et ${(l+1)\varepsilon }$ ; en d’autres termes, cette contribution est ${\Lambda _{l}l\varepsilon }$ à ${\Lambda _{l}\varepsilon }$ près au plus. Ce résultat est vrai aussi pour les intervalles ayant pour origines des points de $\mathrm {E} _{0}$, car la contribution de ces intervalles dans la valeur approchée de $\mathrm {P}$ est au plus ${\Lambda _{0}\varepsilon }$. Donc on peut prendre pour valeur approchée de $\mathrm {P}$

$p=\sum _{0}^{+\infty }\Lambda _{l}l\varepsilon +\mathrm {M'A} ^{ip}$,

puisqu’on ne s’écarte de la valeur donnée par la chaîne que de ${\varepsilon \sum _{0}^{\infty }\Lambda _{l}}$ au plus, soit au plus ${\varepsilon (b-a)}$.

Il faut maintenant pouvoir évaluer les $\Lambda _{l}$ et $\Lambda ^{ip}$ ; pour cela, nous supposons que l’on ait enfermé chacun des ensembles que nous avons considérés dans un ensemble d’intervalles ; nous aurons ainsi les ensembles $\mathrm {A} _{l}$, $\mathrm {A} ^{ip}$, $\mathrm {A} ^{in}$ formés chacun d’intervalles non empiétants. Chacun d’eux surpasse en mesure l’ensemble de même indice d’une quantité $\varepsilon _{l}$, $\varepsilon ^{ip}$, $\varepsilon ^{in}$ que nous pourrons choisir aussi petite que nous le voudrons.