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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.
nulle, étant un nombre positif, très petit, et en les ensembles
,
;
Puis nous poserons la condition :
2o Si est l’origine d’un intervalle de la chaîne, on aura
étant un nombre positif arbitrairement grand.
Les intervalles de la chaîne ayant pour origine des points de , des points des à indice positif et certains points de sont seuls à considérer dans le calcul de .
Les intervalles ayant pour origines des points de ont une contribution de la forme , étant au moins égal à et étant la longueur totale des intervalles issus des points de . Ceux qui ont pour origines des points de , , ont une contribution égale à leur longueur totale multipliée par un nombre compris entre et ; en d’autres termes, cette contribution est à près au plus. Ce résultat est vrai aussi pour les intervalles ayant pour origines des points de , car la contribution de ces intervalles dans la valeur approchée de est au plus . Donc on peut prendre pour valeur approchée de
,
puisqu’on ne s’écarte de la valeur donnée par la chaîne que de au plus, soit au plus .
Il faut maintenant pouvoir évaluer les et ; pour cela, nous supposons que l’on ait enfermé chacun des ensembles que nous avons considérés dans un ensemble d’intervalles ; nous aurons ainsi les ensembles , , formés chacun d’intervalles non empiétants. Chacun d’eux surpasse en mesure l’ensemble de même indice d’une quantité , , que nous pourrons choisir aussi petite que nous le voudrons.