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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.

loppe supérieure  ; est la fonction qui, pour chaque valeur de , est égale à la plus grande des fonctions , , …,  ; est la limite de la suite croissante , , , … ; se définit à partir de , , …, comme à partir de , , … ; est la limite de la suite décroissante , , …. Si les sont des fonctions continues, il en est de même des , les sont donc au plus de première classe et au plus de seconde classe. Un raisonnement analogue s’applique à . Si l’on suppose seulement que si les sont mesurables, on voit que et le sont aussi et cela ne suppose pas que les , que et soient partout finies.

La définition des enveloppes d’indétermination aurait pu être donnée pour une fonction , où est un paramètre remplaçant l’indice de la fonction . L’un des nombres dérivés de est l’une des enveloppes d’indétermination de , quand on fait tendre vers zéro, par valeurs de signe déterminé. Mais étant continue en pour , on peut, comme nous allons le voir, remplacer, pour la recherche de ces enveloppes, l’infinité non dénombrable des valeurs de par une suite de valeurs de tendant vers zéro et convenablement choisies. Les nombres dérivés sont donc, lorsqu’ils sont finis, au plus de seconde classe et en tout cas mesurables B[1].

Mais il faut prouver que l’on peut, comme il a été annoncé, remplacer la considération de la valeur continue par celle d’une suite de valeurs de . S’il s’agit des nombres dérivés à droite, c’est-à-dire des valeurs positives de , nous prendrons une suite contenant les nombres , , , , … et, de plus, contenant entre et des nombres divisant cet intervalle en assez de parties égales pour que, lorsque varie dans une de ces parties, l’oscillation de reste inférieure à , restant constant et ayant n’importe quelle valeur. Il est bien clair que cette suite donne, pour plus grande et plus petite limite de , les deux nombres dérivés à droite de . Les nombres dérivés sont donc mesurables et l’on peut espérer que, dans des cas étendus,

  1. Cette distinction est nécessaire car nous n’avons appliqué la classification de M. Baire qu’aux fonctions partout finies. Mais on peut étendre cette classification à toutes les fonctions.