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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.
rieur de
. Soient
,
,
les trois variations totales de
; on va prouver que l’on a
![{\displaystyle {\mathcal {V}}(\mathrm {E} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {V} _{1}(x)}(\mathrm {E} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0495bfa66694558ac27a8ea68d1cb4cb87f7f6b6)
;
![{\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathrm {E} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {P} _{1}(x)}(\mathrm {E} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb6df5165afd2ed74674993e2498cb6d4fb2a881)
;
![{\displaystyle {\mathcal {N}}(\mathrm {E} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {N} _{1}(x)}(\mathrm {E} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c642cd9777eaa3d4b50976029ceafc14dc1deb85)
;
est la limite supérieure des valeurs de
; mais chaque valeur de
peut se calculer à l’aide d’un système
d’intervalles, donc
est la limite supérieure des nombres
pour les systèmes
d’intervalles ouverts, sauf peut-être en
et
. D’autre part
est la limite supérieure des nombres
pour les systèmes
d’intervalles fermés. Comme en barrant d’un système
d’intervalles tous ceux qui donnent des
négatifs nous augmentons
, et qu’on peut réunir deux intervalles donnant des
non négatifs et ayant une extrémité commune, on peut supposer les intervalles
sans extrémités communes. Soit
l’un de ces intervalles,
étant continue à droite, l’intervalle
donne le même accroissement que
et presque le même que
, pour
très petit.
Donc
, pour
formé d’intervalles fermés, diffère aussi peu que l’on veut de
pour
convenablement formé d’intervalles ouverts, sauf peut-être en
et
. Et l’on a
![{\displaystyle {\mathcal {P}}(a\leqq x\leqq b)={\mathcal {A}}_{\mathrm {P} _{1}(x)}(a\leqq x\leqq b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01727cbeae0f627f278149ca88ec3b68a4006dd)
.
Mais on aurait eu de même
![{\displaystyle {\mathcal {P}}(a\leqq x\leqq \mathrm {X} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {P} _{1}(x)}(a\leqq x\leqq \mathrm {X} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79469ebc9c1021d4de3b974c28d0635958d8bd1b)
,
d’où il résulterait que, dans tout intervalle
ouvert, fermé ou à demi fermé, on a
![{\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathrm {I} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {P} _{1}(x)}(\mathrm {I} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339a37c1524612847f46d44dfb3d38f45f5587ce)
;
puis on déduirait l’égalité
pour tous les ensembles mesurables B.
Les égalités analogues relatives à
et
en résultent.
Soient
,
,
,
les fonctions des singularités de
,
,
,
;
,
,
sont les trois variations de
. À ces fonctions, qui sont continues à droite à l’intérieur de
, correspondent des accroissements
,
,
,
liés entre eux comme
,
,
,
. Ces fonctions
,
,
,