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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.
rieur de . Soient , , les trois variations totales de ; on va prouver que l’on a
;
;
;
est la limite supérieure des valeurs de ; mais chaque valeur de peut se calculer à l’aide d’un système d’intervalles, donc est la limite supérieure des nombres pour les systèmes d’intervalles ouverts, sauf peut-être en et . D’autre part est la limite supérieure des nombres pour les systèmes d’intervalles fermés. Comme en barrant d’un système d’intervalles tous ceux qui donnent des négatifs nous augmentons , et qu’on peut réunir deux intervalles donnant des non négatifs et ayant une extrémité commune, on peut supposer les intervalles sans extrémités communes. Soit l’un de ces intervalles, étant continue à droite, l’intervalle donne le même accroissement que et presque le même que , pour très petit.
Donc , pour formé d’intervalles fermés, diffère aussi peu que l’on veut de pour convenablement formé d’intervalles ouverts, sauf peut-être en et . Et l’on a
.
Mais on aurait eu de même
,
d’où il résulterait que, dans tout intervalle ouvert, fermé ou à demi fermé, on a
;
puis on déduirait l’égalité pour tous les ensembles mesurables B.
Les égalités analogues relatives à et en résultent.
Soient , , , les fonctions des singularités de , , , ; , , sont les trois variations de . À ces fonctions, qui sont continues à droite à l’intérieur de , correspondent des accroissements , , , liés entre eux comme , , , . Ces fonctions , , ,