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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

mais qui comprend toujours tous les ensembles mesurables B ; c’est la famille des ensembles qui, par le changement de variable ${t=x+\mathrm {V} (x)}$ convenablement interprété, fournit des ensembles mesurables en $t$.

On a vu, par le procédé même qui nous a permis de construire $\mathrm {E} _{s}$, que l’on pouvait toujours faire en sorte que l’ensemble des singularités de $\mathrm {F}$ soit mesurable B. Alors, pour cet ensemble, on a deux définitions différentes de l’accroissement de $\mathrm {F}$, il faut vérifier qu’elles sont en accord.

Or soit $\mathrm {E} _{x}$ un ensemble mesurable B, il lui correspond un ensemble ${\mathcal {E}}_{t}$ ; enfermons ${\mathcal {E}}_{t}$ dans des intervalles ouverts ${\mathcal {I}}_{t}$^[1] et dont on fera tendre la mesure vers celle de ${\mathcal {E}}_{t}$. Si l’on a eu soin de choisir les ${\mathcal {I}}_{t}$ de façon qu’ils n’aient aucune extrémité à l’intérieur des intervalles ${(t_{1},t_{2})}$ correspondant aux points singuliers de $\mathrm {F}$, ce qui est possible, ${\mathcal {I}}_{t}$ correspond à un ensemble d’intervalles ouverts $\mathrm {I} _{x}$^[2] enfermant $\mathrm {E} _{x}$ et de mesure tendant vers celle de $\mathrm {E} _{x}$ ; la somme ${\textstyle \sum _{\mathrm {I} _{x}}\Delta \mathrm {F} }$ tend alors vers ${{\mathcal {A}}_{\mathrm {F} }(\mathrm {E} _{x})}$ car elle est égale à ${\textstyle \sum _{{\mathcal {I}}_{t}}\Delta {\mathcal {F}}}$ qui tend vers ${{\mathcal {A}}_{\mathcal {F}}({\mathcal {E}}_{t})}$.

Si donc $\mathrm {E} _{x}$ est l’ensemble des singularités de $\mathrm {F}$, la seule chose nouvelle qui se présente c’est que nous ne sommes plus obligés d’utiliser l’ensemble particulier $\mathrm {I} _{x}$ déduit des ${\mathcal {I}}_{t}$ pour calculer ${{\mathcal {A}}_{\mathrm {F} (x)}(\mathrm {E} _{x})}$ ; on peut employer tout autre ensemble $i_{x}$ d’intervalles ouverts enfermant $\mathrm {E} _{x}$, et de mesure variable et tendant vers zéro.

Quand on se restreint^[3] à la considération des ensembles $\mathrm {E} _{x}$ auxquels correspondent des ensembles ${\mathcal {E}}_{t}$ mesurables, on peut dire que les ensembles des singularités sont ceux pour lesquels on a à la fois

$m(\mathrm {E} _{x})=0$,${{\mathcal {A}}_{\mathrm {V} (x)}(\mathrm {E} _{x})}=\mathrm {V} _{s}(b)$.

Déduisons de là que si $\mathrm {E} ^{1}$ et $\mathrm {E} ^{2}$ sont pour $\mathrm {F}$ deux ensembles des singularités, de cette catégorie, mesurables B par exemple, l’ensemble $\mathrm {E} ^{12}$ des points communs à $\mathrm {E} ^{1}$ et à $\mathrm {E} ^{2}$ est aussi ensemble des singularités de $\mathrm {F}$.

1. Les intervalles de ${\mathcal {I}}_{t}$ qui auraient une extrémité en $a$ ou en $\mathrm {V}$ seraient cependant pris fermés.
2. Dans $\mathrm {I} _{x}$ il pourrait y avoir pourtant un intervalle fermé en $a$ ou en $b$.
3. Je ne sais pas si cette restriction est effective, c’est-à-dire s’il y a des ensembles $\mathrm {E} _{x}$ auxquels correspondent des ${\mathcal {E}}_{t}$ non mesurables.