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CHAPITRE VIII.
Mais on ne peut pas affirmer que l’accroissement soit défini pour tous les ensembles 
mesurables. En tout cas il est défini pour tous les réduits à un intervalle ou à un point car pour eux les 
sont des intervalles ou des points ; le changement de variable transformant les additions et les soustractions d’ensembles en additions et soustractions ; il s’ensuit qu’aux ensembles mesurables B correspondent des mesurables B et par suite l’accroissement de 
est défini en particulier dans tout ensemble mesurable B.
Pour énoncer le résultat, remarquons que 
désignant toujours la variation totale de 
de 
à 
, nous aurions pu raisonner directement sur en posant
,
quand est point de continuité de , et, quand est point de discontinuité, en lui faisant comprendre toutes les valeurs de 
depuis
jusqu’à
.
La fonction 
sera telle que
![{\displaystyle {\mathcal {F}}[x+\mathrm {V} (x)]=\mathrm {F} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0c06c2edb904fe52b0b0522644173059b69992)
si est point de continuité et, si est point de discontinuité on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}(t_{1})&={\mathcal {F}}[x+\mathrm {V} (x-0)]=\mathrm {F} (x-0),\\{\mathcal {F}}(t_{2})&={\mathcal {F}}[x+\mathrm {V} (x+0)]=\mathrm {F} (x+0),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79856827edfbc9c670d8609ceb6be8280262ded1)
étant linéaire entre 
et 
.
Alors il suffira de poser
pour définir l’accroissement de par un procédé analogue au précédent et fournissant le même résultat, comme on le constatera de suite. Donc : on peut attacher à chaque fonction à variation bornée une fonction complètement additive d’ensemble que l’on appelle l’accroissement de et qui est définie dans une famille d’ensembles mesurables, variable avec ,
