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CHAPITRE VIII.
Mais on ne peut pas affirmer que l’accroissement soit défini pour tous les ensembles mesurables. En tout cas il est défini pour tous les réduits à un intervalle ou à un point car pour eux les sont des intervalles ou des points ; le changement de variable transformant les additions et les soustractions d’ensembles en additions et soustractions ; il s’ensuit qu’aux ensembles mesurables B correspondent des mesurables B et par suite l’accroissement de est défini en particulier dans tout ensemble mesurable B.
Pour énoncer le résultat, remarquons que désignant toujours la variation totale de de à , nous aurions pu raisonner directement sur en posant
,
quand est point de continuité de , et, quand est point de discontinuité, en lui faisant comprendre toutes les valeurs de depuis
jusqu’à
.
La fonction sera telle que
si est point de continuité et, si est point de discontinuité on aura
étant linéaire entre et .
Alors il suffira de poser
pour définir l’accroissement de par un procédé analogue au précédent et fournissant le même résultat, comme on le constatera de suite. Donc : on peut attacher à chaque fonction à variation bornée une fonction complètement additive d’ensemble que l’on appelle l’accroissement de et qui est définie dans une famille d’ensembles mesurables, variable avec ,