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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

mais seulement pour les ensembles qui sont ensembles de singularités pour $\mathrm {F} _{1}(x)$.

Par un procédé tout différent nous allons définir l’accroissement de $\mathrm {F} (x)$ dans une classe étendue d’ensembles. Pour cela, décomposons $\mathrm {F}$ en $\mathrm {S+C}$. À la fonction des sauts $\mathrm {S}$ nous attachons dans $\mathrm {E}$ un accroissement égal à

$\sum _{\mathrm {E} }[\mathrm {F} (x+0)-\mathrm {F} (x-0)]$.

la sommation étant étendue à ceux des points de discontinuité de $\mathrm {F}$ qui appartiennent à $\mathrm {E}$.

Soit ${\mathcal {V}}(x)$ la variation totale de $\mathrm {C}$ de $a$ à $x$, le changement de variable

$\theta =x+{\mathcal {V}}(x)$

transforme $\mathrm {C} (x)$ en une fonction de $\theta$, soit ${\mathcal {C}}(\theta )$^[1]. ${\mathcal {C}}$ ayant dans tout intervalle ${(\theta _{1},\theta _{2})}$ une variation totale ${{\mathcal {V}}(x_{2})-{\mathcal {V}}(x_{1})}$, inférieure à ${\theta _{2}-\theta _{1}}$, a, par rapport à $\theta$, des nombres dérivés inférieurs en valeur absolue à 1. ${\mathcal {C}}(\theta )$, étant absolument continue, a un accroissement déterminé dans chaque ensemble mesurable ${\mathcal {E}}_{\theta }$ ; mais à ${\mathcal {E}}_{\theta }$ correspond un ensemble $\mathrm {E} _{x}$. Nous convenons de poser pour définition de l’accroissement dans $\mathrm {E} _{x}$

${\mathcal {A}}_{\mathrm {C} }(\mathrm {E} _{x})={\mathcal {A}}_{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}_{\theta })$.

Les ensembles $\mathrm {E} _{x}$ que nous atteignons ainsi sont tous mesurables ; car si l’on enferme ${\mathcal {E}}_{\theta }$ et son complémentaire ${\mathcal {F}}_{\theta }$ dans deux familles d’intervalles ayant des parties communes de mesure totale $\varepsilon$, par le changement de variable de $\theta$ à $x$ on en déduit deux familles d’intervalles enfermant $\mathrm {E} _{x}$ et son complémentaire $\mathrm {F} _{x}$ et dont les parties communes ont au plus $\varepsilon$ pour mesure ; à un intervalle ${(x_{1},x_{2})}$ correspond, en effet, un intervalle ${(\theta _{1},\theta _{2})}$ de longueur égale ou supérieure.

1. J’avais utilisé ce fait pour l’étude de l’intégrale de Stieltjès ; c’est M. de la Vallée Poussin qui, dans sa conférence du congrès de Strasbourg, en a indiqué l’utilisation actuelle. Antérieurement, M. de la Vallée Poussin avait montré comment on pouvait obtenir la fonction d’ensemble attachée à une fonction $\mathrm {F} (x)$ non absolument continue grâce à un procédé qui généralise exactement celui qui nous a conduit à la mesure des ensembles. Voir son livre déjà cité et, plus loin, le Chapitre XI.