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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

Par exemple, en ajoutant à $\mathrm {E} _{s}$ un ensemble quelconque de mesure nulle on a encore un ensemble des singularités.

Tout ensemble des singularités contient nécessairement les points de discontinuité de $\mathrm {F}$ ; mais ce sont les seuls points qu’il contient nécessairement. Soit, en effet, $x_{0}$ un point de continuité de $\mathrm {F}$ et supposons qu’il appartienne à $\mathrm {E} _{s}$ ; considérons un ensemble $\mathrm {L}$ d’intervalles ouverts enfermant ${\mathrm {E} _{s}-x_{0}}$. Cet ensemble $\mathrm {L}$ enferme les parties $\mathrm {E} _{s}^{1}$ et $\mathrm {E} _{s}^{2}$ de $\mathrm {E} _{s}$ situées dans ${(a,x_{0}-\varepsilon )}$ et ${(x_{0}+\varepsilon ,b)}$, qui sont évidemment les ensembles des singularités de $\mathrm {F}$ dans ces intervalles. $\mathrm {L}$ fournit donc une somme ${\textstyle \sum \Delta \mathrm {V} _{s}}$ au moins égale à ${\mathrm {V} _{s}(x_{0}-\varepsilon )+\mathrm {V} _{s}(b)-\mathrm {V} _{s}(x_{0}+\varepsilon )}$. Or, par hypothèse, ${\mathrm {V} _{s}(x_{0}+\varepsilon )-\mathrm {V} _{s}(x_{0}-\varepsilon )}$ tend vers zéro avec $\varepsilon$, donc $\mathrm {L}$ fournit une somme ${\textstyle \sum \Delta \mathrm {V} _{s}}$ égale à $\mathrm {V} _{s}(b)$.

De même, de l’ensemble des singularités on peut retrancher une infinité dénombrable arbitraire de points de continuité de $\mathrm {F}$, sans que l’ensemble cesse d’être ensemble des singularités.

Considérons la fonction

$\mathrm {F} (x)=\xi (x)+{\frac {1}{2^{2}}}\xi (2x)+{\frac {1}{2^{4}}}\xi (2^{2}x)+{\frac {1}{2^{6}}}\xi (2^{3}x)+\ldots$,

$\xi (x)$ étant la fonction de la page 56 mais supposée prolongée en dehors de (0, 1) de façon qu’elle ait la période 2 et qu’elle soit paire. $\mathrm {F} (x)$ est continue et à variation bornée dans tout intervalle, elle n’est absolument continue dans aucun intervalle, de sorte que l’ensemble des singularités de $\mathrm {F} (x)$ est partout dense et que pourtant il ne contient obligatoirement aucun point particulier ; tout point est qualifié au même titre pour entrer dans cet ensemble de mesure nulle^[1].

Soit $\mathrm {E} _{s}$ l’ensemble des singularités de $\mathrm {F(X)}$ ; alors pour toute suite d’ensembles d’intervalles ouverts enfermant $\mathrm {E} _{s}$ et de mesures tendant vers zéro, on a

$\lim \left[{\textstyle \sum }\Delta \mathrm {P} +{\textstyle \sum }\Delta \mathrm {N} \right]=\lim {\textstyle \sum }\Delta \mathrm {V} =\mathrm {V} _{s}(b)=\mathrm {P} _{s}(b)+\mathrm {N} _{s}(b)$ ;

or $\textstyle \lim \sum \Delta \mathrm {P}$ et $\textstyle \lim \sum \Delta \mathrm {N}$ ne peuvent surpasser respectivement

$\mathrm {P} _{s}(b)=p_{0}$,$\mathrm {N} _{s}(b)=n_{0}$,

1. Ce fait est paradoxal ; on s’en étonnera moins en se disant que, pour calculer ${\int f(x)\,\mathrm {d} x}$, il faut bien garder des points de l’intervalle ou de l’ensemble auquel est étendue l’intégrale et que, pourtant, on peut enlever de l’ensemble n’importe quel point.