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CHAPITRE I.

les opérations trigonométriques (avec les signes sin, cos, tang, arc sin, arc cos, arc tang), les opérations logarithmiques et exponentielles (avec les signes log, $a^{x}$).

Pour un grand nombre de fonctions exprimées de cette manière on avait pu exprimer les fonctions primitives de la même manière, de sorte qu’il apparaissait comme certain que toute fonction admet une fonction primitive. D’ailleurs on pouvait répondre à qui doutait de cette proposition.

Soit (fig. 1) la courbe ${\Gamma ,\,y=f(x)}$, représentant la fonction Fig. 1.
donnée $f(x)$ ; les axes sont rectangulaires. Supposons, pour simplifier, $f(x)$ positive ; soient ${a\mathrm {A} }$, ${b\mathrm {B} }$ deux parallèles à l’axe des $y$, d’abscisses $a$ et $x$. Ces deux parallèles, l’arc $\mathrm {AB}$ de $\Gamma$, le segment $ab$ de $\mathrm {O} x$, limitent un domaine d’aire $\mathrm {S} (x)$. En évaluant l’accroissement $b\mathrm {BC} c$ de cette aire, on voit que $f(x)$ est la dérivée de $\mathrm {S} (x)$^[1].

Remarquons que dans les considérations précédentes le mot fonction a déjà reçu une extension considérable. La relation entre $\mathrm {S} (x)$ et $x$ est en effet une relation géométrique et non plus une relation algébrique-trigonométrique-logarithimique. De telles relations étaient encore considérées comme définissant des fonctions ; seulement, on distinguait soigneusement entre les figures géométriques définies à l’aide de lois exprimables par des égalités géo-

1. Pour la démonstration et pour le cas où $f(x)$ n’est pas toujours positive, voir les traités classiques de calcul différentiel et intégral.