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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

tels que la mesure de l’ensemble des intervalles de rang pair ${(x_{2i-1},x_{2i})}$ soit inférieure à $\eta$ et tels cependant que la somme

$\textstyle \sum \left\lbrace [\mathrm {P} (x_{2i})-\mathrm {P} _{s}(x_{2i})]-[\mathrm {P} (x_{2i-1})-\mathrm {P} _{s}(x_{2i-1})]\right\rbrace$

surpasse $\lambda$. Ce qui s’écrit encore

$\textstyle \sum [\mathrm {P} (x_{2i})-\mathrm {P} (x_{2i-1})]\geqq \sum [\mathrm {P} _{s}(x_{2i})-\mathrm {P} _{s}(x_{2i-1})]+\lambda$.

D’autre part, on peut trouver dans chaque intervalle de rang impair ${(x_{2i},x_{2i+1})}$ des intervalles ${(\alpha ,\beta )}$ dont la mesure totale soit aussi faible qu’on le veut et qui fournissent une somme

$\textstyle \sum [\mathrm {P} (\beta )-\mathrm {P} (\alpha )]$

au moins égale à ${\mathrm {P} _{s}(x_{2i+1})-\mathrm {P} _{s}(x_{2i})}$, d’après la définition même de $\mathrm {P} _{s}$. De sorte que l’on peut supposer que l’ensemble des ${(\alpha ,\beta )}$ relatifs à toutes les valeurs de $i$ ait une mesure inférieure à $\eta$ et que cependant on ait

$\textstyle \sum [\mathrm {P} (\beta )-\mathrm {P} (\alpha )]\geqq \sum [\mathrm {P} _{s}(x_{2i+1})-\mathrm {P} _{s}(x_{2i})]$.

D’où, par addition,

${\begin{aligned}\textstyle \sum [\mathrm {P} (x_{2i})-\mathrm {P} (x_{2i-1})]+\sum [\mathrm {P} (\beta )-\mathrm {P} (\alpha )]&\geqq \lambda +\textstyle \sum [\mathrm {P} _{s}(x_{j})-\mathrm {P} _{s}(x_{j-1})]\\&=\lambda +\mathrm {P} _{s}(b){\text{ ;}}\end{aligned}}$

et ceci est impossible, d’après la définition de $\mathrm {P} _{s}$, puisque l’ensemble des ${(x_{2i-1},x_{2i})}$ et des ${(\alpha ,\beta )}$ est de mesure $2\eta$ aussi petite que l’on veut.

La proposition est donc démontrée.

Posons ${\mathrm {F} =\mathrm {F} _{s}+\mathrm {AC} }$, $\mathrm {AC}$ représente donc une fonction absolument continue : le noyau de $\mathrm {F}$. Les fonctions $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{s}$ ont les mêmes sauts en tout point, donc la même fonction des sauts $\mathrm {S}$ (fonction $\varphi$ de la page 60). Si l’on pose

$\mathrm {F} =\mathrm {S} +\mathrm {C} =\mathrm {F} _{s}+\mathrm {AC} =\mathrm {S} +\mathrm {C} _{s}+\mathrm {AC}$,

$\mathrm {C}$ est la partie continue de $\mathrm {F}$ (fonction $\psi$ de la page 61) et $\mathrm {C} _{s}$ est à la fois la partie continue de $\mathrm {F} _{s}$ et la fonction des singularités de la partie continue $\mathrm {C}$ de $\mathrm {F}$^[1].

1. Le lecteur pourra démontrer que la fonction des sauts est, parmi toutes les fonctions correctives $\mathrm {F} _{s}$ telles que ${\mathrm {F} -\mathrm {F} _{s}}$ soit continue, celle qui a la plus petite variation totale. $\mathrm {S}$ et $\mathrm {F} _{s}$ sont donc susceptibles de définitions analogues.

   Je laisse aussi de côté quantité de propositions à démonstrations faciles, comme