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CHAPITRE VIII.

À chaque mode de définition de $p_{0}$, de $n_{0}$, donc de ${v_{0}=p_{0}+n_{0}}$, correspond évidemment une formulation différente de la condition d’absolue continuité.

Désignons par $\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )$, $\mathrm {N} _{s}(\mathrm {X} )$, $\mathrm {V} _{s}(\mathrm {X} )$ les nombres $p_{0}$, $n_{0}$, $v_{0}$ relatifs à l’intervalle ${(a,\mathrm {X} )}$, il est évident que dans l’intervalle positif ${(\alpha ,\mathrm {X} )}$ les nombres $p_{0}$, $n_{0}$, $v_{0}$ sont ${\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )-\mathrm {P} _{s}(\alpha )}$, ${\mathrm {N} _{s}(\mathrm {X} )-\mathrm {N} _{s}(\alpha )}$, ${\mathrm {V} _{s}(\mathrm {X} )-\mathrm {V} _{s}(\alpha )}$ ; il est clair aussi que ces trois nombres sont positifs ou nuls et au plus égaux, respectivement à ${\mathrm {P} (\mathrm {X} )-\mathrm {P} (\alpha )}$, ${\mathrm {N} (\mathrm {X} )-\mathrm {N} (\alpha )}$, ${\mathrm {V} (\mathrm {X} )-\mathrm {V} (\alpha )}$. En d’autres termes, les six fonctions $\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )$, $\mathrm {N} _{s}(\mathrm {X} )$, $\mathrm {V} _{s}(\mathrm {X} )$ ; ${\mathrm {P(X)} -\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )}$, ${\mathrm {N(X)} -\mathrm {N} _{s}(\mathrm {X} )}$, ${\mathrm {V(X)} -\mathrm {V} _{s}(\mathrm {X} )}$ sont non négatives et non décroissantes. Ces fonctions ne sont actuellement définies que dans ${a<\mathrm {X} \leqq b}$ ; nous les prendrons égales à zéro au point $a$ et nous poserons

$\mathrm {F} _{s}(\mathrm {X} )=\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )-\mathrm {N} _{s}(\mathrm {X} )$.

Les fonctions $\mathrm {F} _{s}$, $\mathrm {P} _{s}$, $\mathrm {N} _{s}$, $\mathrm {V} _{s}$ sont dites les fonctions des singularités de $\mathrm {F}$, $\mathrm {P}$, $\mathrm {N}$, $\mathrm {V}$ ; voici leur propriété caractéristique : si $\mathrm {F} _{s}(\mathrm {X} )$ est la fonction des singularités d’une fonction à variation bornée $\mathrm {F(X)}$, la différence ${\mathrm {F(X)} -\mathrm {F} _{s}(\mathrm {X} )}$ est absolument continue et $\mathrm {F} _{s}(\mathrm {X} )$ est, de toutes les fonctions $\mathrm {G} _{s}(\mathrm {X} )$ telles que la différence ${\mathrm {F(X)} -\mathrm {G} _{s}(\mathrm {X} )}$ soit absolument continue, celle qui a la plus petite variation totale, et qui s’annule pour ${x=a}$.

Il est évident, d’après la définition même de $\mathrm {P} _{s}$ et de $\mathrm {N} _{s}$ qu’il ne saurait y avoir une fonction corrective $\mathrm {G} _{s}(\mathrm {X} )$ ayant des variations dans ${(a,\mathrm {X} )}$ inférieures à $\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )$, $\mathrm {N} _{s}(\mathrm {X} )$, $\mathrm {V} _{s}(\mathrm {X} )$ et que la seule fonction pour laquelle ces valeurs minima soient atteintes est

$\mathrm {F} _{s}(\mathrm {X} )+{\text{const.}}$

Mais il reste à prouver que $\mathrm {F} _{s}(x)$ est une fonction corrective. Or on a

$\mathrm {F(X)} -\mathrm {F} _{s}(\mathrm {X} )=[\mathrm {P(X)} -\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )]-[\mathrm {N(X)} -\mathrm {N} _{s}(\mathrm {X} )]$ ;

comme les deux crochets du second membre sont positifs ou nuls, il faut donc prouver que le nombre $p_{0}$ relatif au premier crochet et le nombre $n_{0}$ relatif au second sont nuls.

Si le nombre $p_{0}$ relatif à ${\mathrm {P(X)} -\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )}$ était égal à ${\lambda >0}$, c’est qu’on pourrait trouver dans ${(a,b)}$ des points en nombre fini,

$x_{0}=a<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{k}=b$,