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CHAPITRE VIII.

dans les divers intervalles, par un procédé analogue à celui qui permet de calculer $m(\mathrm {E} )$ à partir de la mesure des intervalles.

La propriété précédente entraîne cette conséquence très importante : deux fonctions $f_{1}(x)$ et $f_{2}(x)$, qui ont même intégrale dans tout intervalle, sont égales, sauf tout au plus aux points d’un ensemble de mesure nulle. En effet, deux telles fonctions ont, par hypothèse, même intégrale indéfinie $\mathrm {F(X)}$, donc même intégrale indéfinie $\Psi (\mathrm {E} )$ ; or, comme ${\mathrm {E} [(f_{1}-f_{2})\neq 0]}$ est la limite, pour ${\varepsilon >0}$ et tendant vers zéro, de ${\mathrm {E} [(f_{1}-f_{2})>\varepsilon ]+\mathrm {E} [(f_{2}-f_{1})>\varepsilon ]}$, pour $\varepsilon$ assez petit l’un des deux ensembles qui viennent d’être nommés serait de mesure non nulle si $f_{1}$ et $f_{2}$ différaient en un ensemble de points de mesure positive^[1]. Et il est clair que, dans cet ensemble $e$ de mesure non nulle, l’intégrale de la fonction ${f_{1}-f_{2}}$, constamment supérieure à $\varepsilon$, ou constamment inférieure à $-\varepsilon$, ne serait pas nulle. En d’autres termes, ${\int _{e}f_{1}\,\mathrm {d} x}$ et ${\int _{e}f_{2}\,\mathrm {d} x}$ différeraient, ce qui est contraire à l’hypothèse.

Ainsi une fonction $f(x)$ est déterminée, sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle, par la connaissance de l’une quelconque de ses intégrales indéfinies.

L’indétermination qu’on rencontre dans cet énoncé est bien effective ; car, si l’on modifie arbitrairement $f(x)$ aux points d’un ensemble de mesure nulle arbitrairement choisi, on ne modifie pas ses intégrales indéfinies. Nous aurons plus loin à rechercher comment on peut calculer $f(x)$ quand on en connaît une intégrale indéfinie ; mais pour donner aux résultats qu’on obtiendra toute la portée possible, il sera commode de poursuivre quelque peu l’étude des fonctions d’ensemble.

III. — Les singularités des fonctions non absolument continues.

Des deux propriétés indiquées pour l’intégrale indéfinie fonction d’une variable : être à variation bornée et être absolument continue, la première est contenue dans la seconde ; en effet, pour une fonction $\mathrm {F(X)}$ à variation non bornée, il est possible de

1. $f_{1}$ et $f_{2}$, étant sommables, sont mesurables, et l’ensemble des points où $f_{1}$ et $f_{2}$ diffèrent est bien mesurable.