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CHAPITRE VIII.

de la fonction $\mathrm {F} _{1}(x)$, $\mathrm {F} _{1}(x)$ étant la fonction déduite de $\mathrm {F}$ en modifiant celle-ci en ses points de discontinuité, sauf $a$ et $b$ si ceux-ci sont des points de discontinuité, de façon à obtenir une fonction continue à droite, sauf peut-être en $a$.

Donc on a, entre la variation totale $\mathrm {V} (\delta )$ de $\Phi (\delta )$ et la variation totale $v(\mathrm {X} )$ de $\mathrm {F_{1}(X)}$, dans ${a\leqq x\leqq \mathrm {X} }$,

$\mathrm {V} \left[a\leqq x\leqq \mathrm {X} \right]=v(\mathrm {X} )$.

Entre les variations totales positive et négative de $\Phi (\delta )$, soient $\mathrm {P} (\delta )$ et $\mathrm {N} (\delta )$, et les variations totales positive et négative de $\mathrm {F_{1}(X)}$, soient $p(x)$ et $n(x)$, on a

${\begin{aligned}\Phi (\delta )&=\mathrm {P} (\delta )-\mathrm {N} (\delta ),&\mathrm {V} (\delta )&=\mathrm {P} (\delta )+\mathrm {N} (\delta ),\\\mathrm {F_{1}(X)} -\mathrm {F} (a)&=p(\mathrm {X} )-n(\mathrm {X} ),&v(\mathrm {X} )&=p(x)+n(x),\end{aligned}}$

d’où

$\mathrm {P} \left[a\leqq x\leqq \mathrm {X} \right]=p(\mathrm {X} )$,$\mathrm {N} \left[a\leqq x\leqq \mathrm {X} \right]=n(\mathrm {X} )$,

relations qui achèvent de fixer les relations entre $\mathrm {F(X)}$ et $\Phi (\delta )$.

On verrait facilement que les fonctions des sauts de $\Phi (\delta )$, $\mathrm {P} (\delta )$, $\mathrm {N} (\delta )$, $\mathrm {V} (\delta )$, fonctions qui se définissent comme celles de $\Psi (\mathrm {E} )$, $\mathrm {P(E)}$, $\mathrm {N(E)}$, $\mathrm {V(E)}$, sont les fonctions d’intervalles qui se déduisent des fonctions des sauts de $\mathrm {F(X)}$ ou $\mathrm {F_{1}(X)}$, de $p(x)$, de $n(x)$, de $v(x)$.

II. — Les fonctions absolument continues.

Ayant ainsi étudié le passage de $\mathrm {F} (x)$ à une fonction d’intervalle $\Phi (\delta )$, demandons-nous si nous pouvons déduire de $\Phi (\delta )$, complètement additive, une fonction d’ensemble $\Psi (\mathrm {E} )$ complètement additive.

Il est clair que $\Psi (\mathrm {E} )$ est définie pour tous les intervalles fermés ou ouverts ; de l’additivité absolue on déduit la valeur de $\Psi (\mathrm {E} )$ pour tous les ensembles mesurables B, puisque ces ensembles peuvent être obtenus par des sommes ou des différences à partir des intervalles^[1]. Mais pour atteindre tous les ensembles mesu-

1. Seulement tout ensemble mesurable B peut être obtenu de plusieurs manières par des additions et des soustractions, la définition de $\Psi (\mathrm {E} )$ ne serait donc complète pour les ensembles mesurables B que si nous prouvions qu’elle est exempte de contradiction et cela sans utiliser la condition d’absolue continuité qui va être introduite.