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CHAPITRE VIII.

Nous retrouvons ainsi, en particulier, ce résultat : une intégrale indéfinie $\mathrm {F} (x)$ est une fonction continue à variation bornée.

Des égalités

$\Phi (\mathrm {X} _{0})=\mathrm {F(X_{0})-F(X_{0}-0)}$,

$\Phi \left[\mathrm {X} _{0}\leqq x\leqq \mathrm {Y} _{0}\right]=\mathrm {F(Y_{0})-F(X_{0}-0)}$,

qui résultent de ce qui précédé, il découle que la fonction $\Phi$ n’est définie par la fonction $\mathrm {F}$ que pour les intervalles, nuls ou non nuls, n’ayant pas pour origine $a$ lorsque $\mathrm {F}$ n’est connue que dans ${(a,b)}$. Pour que $\mathrm {F}$ puisse définir $\Phi$ dans tout ${a\leqq x\leqq b}$, convenons que la formule

$\mathrm {F(X)} =\Phi [a\leqq x\leqq \mathrm {X} ]+\mathrm {C}$

ne sera utilisée que pour ${a<\mathrm {X} \leqq b}$ et que l’on posera ${\mathrm {F} (a)=\mathrm {C} }$.

Alors $\mathrm {F(X)}$ pourra être discontinue à droite en $a$ et l’on aura des formules différentes pour relier $\Phi$ à $\mathrm {F}$ suivant qu’il s’agira ou non des intervalles d’origine $a$.

Nous arrivons ainsi à associer à la fonction d’intervalle $\Phi$ une fonction bien déterminée de points $\mathrm {F(X)}$ dont la connaissance entraînerait celle de $\Phi$.

Mais il est bien évident qu’un autre choix parmi les conventions possibles nous aurait conduit à une fonction $\mathrm {F(X)}$ continue à gauche, sauf peut-être en $b$, et avec laquelle on aurait eu

$\Phi (\mathrm {X} _{0})=\mathrm {F(X_{0}+0)-F(X_{0})}$,

$\Phi \left[\mathrm {X} _{0}\leqq x\leqq \mathrm {Y} _{0}\right]=\mathrm {F(Y_{0}+0)-F(X_{0})}$,

sauf pour ${\mathrm {Y} _{0}=b}$, auquel cas les formules seraient différentes.

Ce n’est donc que très artificiellement que nous avons attaché à $\Phi$ une fonction $\mathrm {F}$ déterminée ; si l’on remarque qu’avec les deux conventions précédentes on a

$\Phi (\mathrm {X} _{0})=\mathrm {F(X_{0}+0)-F(X_{0}-0)}$,

$\Phi \left[\mathrm {X} _{0}\leqq x\leqq \mathrm {Y} _{0}\right]=\mathrm {F(Y_{0}+0)-F(X_{0}-0)}$,

en posant ${\mathrm {F} (a-0)=\mathrm {F} (a)}$, ${\mathrm {F} (b+0)=\mathrm {F} (b)}$, on sera conduit à considérer qu’à $\Phi$ est attachée n’importe laquelle des fonctions $\mathrm {F(X)}$ à variation bornée vérifiant les relations précédentes. Deux fonctions $\mathrm {F(X)}$ satisfaisant à ces conditions ne différeront, à une constante additive près, qu’en certains de leurs