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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.
dans lesquelles 
désigne une constante. Ces deux formules sont équivalentes pour tous les points 
qui sont points de continuité pour 
; pour les points de discontinuité elles donnent des valeurs différentes pour 
. La définition de 
comporte donc un certain arbitraire. Nous allons adopter la première formule ; le second choix donnerait des résultats qui se déduiraient de suite de ceux que nous obtiendrons.
On a
![{\displaystyle \mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )=\Phi [a\leqq x\leqq \beta ]-\Phi [a\leqq x\leqq \alpha ]=\Phi [\alpha <x\leqq \beta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c7ac02720c6690b47f803cf74eda18533cc3b9)
,
étant supposé inférieur à 
.
Si donc on prend arbitrairement 
, 
, … tels que
,
on aura
![{\displaystyle =|\Phi [a<x\leqq x_{1}]|+|\Phi [x_{1}<x\leqq x_{2}]|+\ldots +|\Phi [x_{p}<x\leqq b]|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/768b984882f6450d4b9a5f9e1c950009d72ea032)
.
Et comme le second membre est au plus égal à ![{\displaystyle {\mathrm {V} [a<x\leqq b]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8afef0ddc99be9bc7ece842ae4e038176d7176c)
, la fonction est à variation bornée.
Dans la formule de définition de 
, faisons tendre vers 
en décroissant, c’est-à-dire donnons à une suite de valeurs 
, 
, … décroissant vers ; on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F(X')} &=\mathrm {F(X_{0})+[F(X')-F(X'')]+[F(X'')-F(X''')]} +\ldots \\&=\mathrm {F(X_{0})} +\Phi [\mathrm {X''} <x\leqq \mathrm {X'} ]+\Phi [\mathrm {X'''} <x\leqq \mathrm {X''} ]+\ldots ,\\\mathrm {F(X'')} &=\mathrm {F(X_{0})+0+[F(X'')-F(X''')]} +\ldots \\&=\mathrm {F(X_{0})} +0+\Phi [\mathrm {X'''} <x\leqq \mathrm {X''} ]+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fbc99bcc1d089e7580f465e2ff43967beb019ed)
et ainsi de suite, d’où
:
la fonction est donc continue à droite.
Faisant de même tendre en croissant, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F(X_{0}-0)} &=\lim _{\mathrm {X} \to \mathrm {X} _{0}}^{\mathrm {X} <\mathrm {X_{0}} }\left\lbrace \mathrm {C} +\Phi (a\leqq x\leqq \mathrm {X} )\right\rbrace =\Phi [a\leqq x<\mathrm {X} _{0}]+\mathrm {C} ,\\&=\mathrm {F(X_{0})} -\Phi (\mathrm {X} _{0}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de10fcf9dc4406d8f844269cabb1bd4f92c11ac)
la fonction est discontinue à gauche aux points où est discontinue et en ces points seulement.
