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CHAPITRE VIII.

Il n’y a pourtant pas à faire cette distinction si $\Psi (\mathrm {E} )$ est continue en tout point, auquel cas $\Phi (\delta )$ est nulle pour tout intervalle nul.

À toute propriété d’additivité de $\Psi$ correspond une additivité de $\Phi$ qui s’énonce : si un intervalle $\delta$ est la somme des intervalles $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, …, sans point commun deux à deux, on a

$\Phi (\delta )=\Phi (\delta _{1})+\Phi (\delta _{2})+\ldots$.

Si $\Psi$ a l’additivité restreinte, $\Phi$ a l’additivité restreinte, c’est-à-dire que les $\delta _{i}$ doivent être en nombre fini. Les $\delta _{i}$ peuvent être en infinité dénombrable si $\Psi$ a l’additivité complète, $\Phi$ est dite alors complètement additive.

Quant à la phrase sans point commun deux à deux, elle doit être prise au sens strict si $\Psi$ a des points de discontinuité ; les intervalles constituants peuvent être seulement sans point intérieur commun si $\Psi$ est continue ; pour le cas d’une intégrale indéfinie, par exemple.

$\Psi$ étant supposée complètement additive est à variation bornée ; $\Phi$ est alors à variation bornée, c’est-à-dire que pour des intervalles $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, … sans point commun deux à deux (même remarque que plus haut), la somme ${\textstyle \sum |\Phi (\delta _{i})|}$ reste bornée ; sa borne supérieure si les $\delta _{i}$ sont pris dans $\delta$ est, en effet, au plus la valeur $\mathrm {V} (\delta )$ que prend la fonction $\mathrm {V(E)}$ pour ${\mathrm {E} =\delta }$. $\Phi (\delta )$ se présente comme la différence des deux fonctions non négatives d’intervalle $\mathrm {P} (\delta )$ et $\mathrm {N} (\delta )$, déduites de $\mathrm {P(E)}$ et $\mathrm {N(E)}$.

Les points de discontinuité et de continuité se définissent comme précédemment ; bref, les définitions antérieures s’appliquent. Seulement on ne considère plus que des ensembles réduits à un intervalle fermé ou ouvert, positif ou nul, et, par suite, une propriété qui fait appel à des ensembles qu’on ne saurait réduire à des intervalles n’a pas de transformée ; celle-ci par exemple : toute fonctions $\Psi (\mathrm {E} )$ à variation bornée atteint sa limite supérieure.

Passons maintenant d’une fonction d’intervalle complètement additive à une fonction de $x$. Nous désignerons par ${\Phi [a\leqq x\leqq b]}$ et par des notations analogues les valeurs que prend la fonction $\Phi$ pour les intervalles définis par les inégalités écrites entre crochets. On peut passer de $\Phi (\delta )$ à $\mathrm {F} (x)$ par l’une ou l’autre des formules

${\begin{aligned}\mathrm {F(X)} &=\Phi [a\leqq x\leqq \mathrm {X} ]+\mathrm {C} =\mathrm {C} +\Phi [a\leqq x\leqq b]-\Phi [\mathrm {X} <x\leqq b],\\\mathrm {F(X)} &=\Phi [a\leqq x<\mathrm {X} ]+\mathrm {C} =\mathrm {C} +\Phi [a\leqq x\leqq b]-\Phi [\mathrm {X} \leqq x\leqq b],\end{aligned}}$