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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.
Choisissons dans l’intervalle
des valeurs
croissantes vers
et des valeurs
décroissantes vers
; soient
et
les ensembles définis respectivement par
![{\displaystyle a_{i-1}\leqq x<a_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ca0e73571ef531c6391a8b927e2d7ab5982270)
,
![{\displaystyle b_{i}<x\leqq b_{i-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d34bb4b420f67a9db38ac3925127c7010684050)
On a
![{\displaystyle \textstyle \delta =x_{0}+\sum \alpha _{i}+\sum \beta _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa658698c2b4c5e6ef0f0f50deff9d3507defa1d)
,
les ensembles du second membre étant sans point commun deux à deux, et
étant nul, on a
![{\displaystyle \textstyle \mathrm {V} _{0}(\delta )=\sum \mathrm {V} _{0}(\alpha _{i})+\sum \mathrm {V} _{0}(\beta _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e154ccf8e49376ca52a740d7e342569cf01306ba)
.
Les sommes du second membre étant convergentes, si l’on prend
assez grand on aura, pour
,
![{\displaystyle \mathrm {V} _{0}(\delta _{k})=\sum _{k+1}^{\infty }\mathrm {V} _{0}(\alpha _{i})+\sum _{k+1}^{\infty }\mathrm {V} _{0}(\beta _{i})<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c48c76f59b994aabe4a766c8f780bf73ce433f4)
;
sera alors l’intervalle
que nous cherchons.
Ainsi une fonction complètement additive, définie dans un intervalle
, y est continue en tout point si, et seulement si, elle prend une valeur nulle pour tout ensemble formé d’un seul point[1]. Une intégrale indéfinie est donc continue.
Examinons maintenant quelles sont les propriétés de
et
qui correspondent à celles de
que nous venons d’envisager.
Une fonction
étant donnée, une fonction d’intervalle est par cela même donnée
; cette fonction est définie pour tout intervalle positif ou nul, c’est-à-dire réduit à un point. Elle n’a pas en général la même valeur pour un intervalle ouvert
![{\displaystyle \alpha <x<\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dae80c01fdec753ee813377f71ce05c0e36bf0d)
,
et pour l’intervalle fermé correspondant
![{\displaystyle \alpha \leqq x\leqq \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570bc4ad39e9e69e79f893b58c4d5e9c99c14596)
;
ni pour les intervalles à demi fermés
![{\displaystyle \alpha <x\leqq \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c2271eccc43c71a303a0ecf90cc1ff899e3ea4)
,
![{\displaystyle \alpha \leqq x<\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4fd8b590c6979975f4213e34d17ecad2b73524)
.
- ↑ Si une telle fonction prend les valeurs
et
, elle prend aussi toute valeur comprise entre
et
.