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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.
Choisissons dans l’intervalle des valeurs croissantes vers et des valeurs décroissantes vers ; soient et les ensembles définis respectivement par
,
On a
,
les ensembles du second membre étant sans point commun deux à deux, et étant nul, on a
.
Les sommes du second membre étant convergentes, si l’on prend assez grand on aura, pour ,
;
sera alors l’intervalle que nous cherchons.
Ainsi une fonction complètement additive, définie dans un intervalle , y est continue en tout point si, et seulement si, elle prend une valeur nulle pour tout ensemble formé d’un seul point[1]. Une intégrale indéfinie est donc continue.
Examinons maintenant quelles sont les propriétés de et qui correspondent à celles de que nous venons d’envisager.
Une fonction étant donnée, une fonction d’intervalle est par cela même donnée ; cette fonction est définie pour tout intervalle positif ou nul, c’est-à-dire réduit à un point. Elle n’a pas en général la même valeur pour un intervalle ouvert
,
et pour l’intervalle fermé correspondant
;
ni pour les intervalles à demi fermés
,
.
- ↑ Si une telle fonction prend les valeurs et , elle prend aussi toute valeur comprise entre et .