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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

plus général, c’est-à-dire que si l’on a

$\Psi (\mathrm {E} )=\mathrm {P_{1}(E)-N_{1}(E)}$,

$\mathrm {P_{1}(E)}$ et $\mathrm {N_{1}(E)}$ étant deux fonctions complètement additives et non négatives, on a

$\mathrm {P_{1}(E)} -\mathrm {P(E)} =\mathrm {N_{1}(E)} -\mathrm {N(E)} =\lambda (\mathrm {E} )$,

$\lambda (\mathrm {E} )$ étant complètement additive et non négative. En effet, soit $\lambda (\mathrm {E} )$ la fonction définie par cette double égalité ; elle est absolument continue, montrons qu’elle est non négative. Soit $\mathrm {E} ^{p}$ l’ensemble que nous avons attaché à $\mathrm {E}$ ; on a, puisque $\mathrm {E} ^{p}$ est contenu dans $\mathrm {E}$,

$\mathrm {P_{1}(E)} \geqslant \mathrm {P} _{1}(\mathrm {E} ^{p})=\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{p})+\lambda (\mathrm {E} ^{p})$,$\mathrm {N} _{1}(\mathrm {E} ^{p})=\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{p})+\lambda (\mathrm {E} ^{p})$,

Mais, puisque ${\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{p})}$ est nul et que ${\mathrm {N} _{1}(\mathrm {E} ^{p})}$ ne doit pas être négatif, ${\lambda (\mathrm {E} ^{p})\geqq 0}$ ; d’où

$\mathrm {P_{1}(E)} \geqslant \mathrm {P} (\mathrm {E} ^{p})=\mathrm {P(E)}$.

Donc

$\lambda (\mathrm {E} )=\mathrm {P_{1}(E)} -\mathrm {P(E)}$

n’est pas négatif.

En d’autres termes, les variations $\mathrm {P(E)}$ et $\mathrm {N(E)}$ de $\Psi (\mathrm {E} )$ sont, parmi toutes les fonctions complètement additives $\mathrm {P_{1}(E)}$ et $\mathrm {N_{1}(E)}$ qui ne sont pas négatives et vérifient l’identité

$\Psi (\mathrm {E} )=\mathrm {P_{1}(E)-N_{1}(E)}$,

celles qui sont les plus petites. Cette propriété correspond exactement à celle de la page 52 pour les fonctions à variation bornée d’une variable ; mais, de plus, nous avons vu incidemment que $\mathrm {P(E)}$ et $\mathrm {-N(E)}$ sont les deux limites, supérieure et inférieure, de $\Psi (e)$ pour $e$ variant dans $\mathrm {E}$ et que ces limites sont effectivement atteintes respectivement pour ${e=\mathrm {E} ^{p}}$ et pour ${e=\mathrm {E} ^{n}}$, propriétés qui n’ont pas leurs analogues pour les fonctions d’une variable^[1]. Pour que la propriété précédente soit entièrement

1. Ces propriétés correspondent cependant à des propriétés de certaines fonctions d’une variable puisque, dans un moment, nous définirons $\Psi (\mathrm {E} )$ par une fonction $\mathrm {F} (x)$ d’une variable ; mais ce sont des propriétés que l’on n’aurait guère songé à envisager si l’on n’avait pas parlé de fonction d’ensemble. C’est à cause de telles propriétés qu’il y a intérêt à considérer les fonctions d’ensemble.