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CHAPITRE VIII.
donc
et, puisque
on a
;
de plus
.D’une façon analogue, on formera 
tel que l’on ait
,
;
.
Soit 
l’ensemble des points communs à 
et à , des deux relations
,
,
il résulte que les deux nombres non négatifs 
et 
sont nuls ; a fortiori 
est nulle. Si donc on retranche de on ne modifie ni 
, ni 
, ni 
.
Nous pouvons donc supposer que les deux ensembles et sont sans point commun. De même on verrait que 
, 
, et 
sont nulles pour l’ensemble des points de 
n’appartenant ni à ni à , de sorte que cet ensemble peut être ajouté à ou à sans que nos relations soient changées. Finalement on voit que l’on peut supposer divisé en deux ensembles et sans point commun et tels que l’on ait
Mais
,
donc on a
.
Il est prouvé que 
est à variation bornée.
Si à 
et 
on ajoute une même fonction complètement additive et non négative 
on obtient
,
;
.
On peut donc mettre une fonction à variation bornée sous la forme d’une différence de deux fonctions non négatives d’une infinité de manières ; le procédé que nous venons d’indiquer est d’ailleurs le
