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CHAPITRE VIII.
donc
et, puisque
on a
;
de plus
.
D’une façon analogue, on formera tel que l’on ait
,
;
.
Soit l’ensemble des points communs à et à , des deux relations
,
,
il résulte que les deux nombres non négatifs et sont nuls ; a fortiori est nulle. Si donc on retranche de on ne modifie ni , ni , ni .
Nous pouvons donc supposer que les deux ensembles et sont sans point commun. De même on verrait que , , et sont nulles pour l’ensemble des points de n’appartenant ni à ni à , de sorte que cet ensemble peut être ajouté à ou à sans que nos relations soient changées. Finalement on voit que l’on peut supposer divisé en deux ensembles et sans point commun et tels que l’on ait
Mais
,
donc on a
.
Il est prouvé que est à variation bornée.
Si à et on ajoute une même fonction complètement additive et non négative on obtient
,
;
.
On peut donc mettre une fonction à variation bornée sous la forme d’une différence de deux fonctions non négatives d’une infinité de manières ; le procédé que nous venons d’indiquer est d’ailleurs le