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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

est sa variation totale. Cette variation totale est aussi une fonction complètement additive, car il clair que la somme ou la différence de deux fonctions complètement additives est complètement additive. $\mathrm {V(E)}$ est la borne supérieure de ${\textstyle \sum |\Psi (\mathrm {E} _{i})|}$ pour les divisions de $\mathrm {E}$ en ensembles partiels $\mathrm {E} _{i}$.

Nous prouverons que $\Psi (\mathrm {E} )$ est à variation bornée en montrant que l’on a

$\Psi (\mathrm {E} )=\mathrm {P(E)-N(E)}$.

Avec des points de $\mathrm {E}$ on peut former un ensemble $e_{1}$ pour lequel $\Psi (e_{1})$ surpasse ${{\frac {1}{2}}\mathrm {P(E)} }$. Avec des points de $e_{1}$ on peut former un ensemble $e_{2}$ pour lequel $\Psi (e_{2})$ soit au plus égal à ${-{\frac {1}{2}}\mathrm {N(E)} }$. On a

$\Psi (e_{1}-e_{2})\geqq \Psi (e_{1})$,$\mathrm {N} (e_{1}-e_{2})<{\frac {1}{2}}\mathrm {N} (e_{1})$.

Avec des points de ${e_{1}-e_{2}}$ formons un ensemble $e_{3}$ pour lequel $\Psi (e_{3})$ soit au plus égal à ${-{\frac {1}{2}}\mathrm {N} (e_{1}-e_{2})}$, on a

$\Psi (e_{1}-e_{2}-e_{3})\geqq \Psi (e_{1}-e_{2})$,$\mathrm {N} (e_{1}-e_{2}-e_{3})<{\frac {1}{2^{2}}}\mathrm {N} (e_{1})$.

En continuant ainsi, on arrive à un ensemble ${e_{1}-e_{2}-e_{3}-\ldots }$, ou $\mathrm {E} _{1}$, pour lequel on a

${\mathrm {N(E_{1})} =0}$,${\mathrm {P(E_{1})} =\Psi (\mathrm {E} _{1})\geqq {\frac {1}{2}}\mathrm {P(E)} }$,$\mathrm {P(E-E_{1})} \leqq {\frac {1}{2}}\mathrm {P(E)}$.

Avec des points de $\mathrm {E-E_{1}}$ on peut de même former un ensemble $\mathrm {E} _{2}$ tel que

${\mathrm {N(E_{2})} =0}$,${\mathrm {P(E_{2})} =\Psi (\mathrm {E} _{2})\geqq {\frac {1}{2}}\mathrm {P(E-E_{1})} }$,

$\mathrm {P(E-E_{1}-E_{2})} \leqq {\frac {1}{2^{2}}}\mathrm {P(E)}$.

Puis, avec des points de $\mathrm {E-E_{1}-E_{2}}$, on formera $\mathrm {E} _{3}$, tel que

${\mathrm {N(E_{3})} =0}$,${\mathrm {P(E_{3})} =\Psi (\mathrm {E} _{3})\geqq {\frac {1}{2}}\mathrm {P(E-E_{1}-E_{2})} }$,

$\mathrm {P(E-E_{1}-E_{2}-E_{3})} \leqq {\frac {1}{2^{3}}}\mathrm {P(E)}$,

et ainsi de suite.

Il est clair que, pour ${\mathrm {E} _{1}+\mathrm {E} _{2}+\ldots =\mathrm {E} ^{p}}$, on a

$\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{p})=\mathrm {N(E_{1})} +\mathrm {N(E_{2})} +\ldots =0$,

$\mathrm {P} (\mathrm {E} -\mathrm {E} ^{p})\leqq \mathrm {P} (\mathrm {E} -\mathrm {E} _{1}-\mathrm {E} _{2}-\ldots -\mathrm {E} _{k})\leqq {\frac {1}{2^{k}}}\mathrm {P(E)}$.