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CHAPITRE VIII.

la fonction $\Psi$ ne peut donc être finie et complètement additive. Comme nous ne parlons que de fonctions finies d’ensemble, sauf avis exprès du contraire, nous pouvons dire simplement : toute fonction complètement additive est bornée.

Une fonction complètement additive^[1] est à variation bornée ; on entend par là qu’elle est la différence de deux fonctions complètement additives et ne prenant que des valeurs positives ou nulles. Pour le démontrer quelques définitions sont nécessaires.

Considérons les valeurs prises par une fonction complètement additive $\Psi$ pour les ensembles $e$ formés avec les points d’un ensemble $\mathrm {E}$, ces valeurs sont comprises entre $\mathrm {M}$ et $-\mathrm {M}$, $\mathrm {M}$ étant la borne supérieure de $|\Psi |$ dans tout ${(a,b)}$. Soit ${-\mathrm {N(E)} \leqq 0\leqq +\mathrm {P(E)} }$ le plus petit intervalle contenant ces valeurs de $\Psi$ et zéro. Ces deux fonctions $\mathrm {N(E)}$ et $\mathrm {P(E)}$ sont complètement additives ; vérifions-le pour $\mathrm {P(E)}$. Soient $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, … sans points communs deux à deux, soient $e_{1}$, $e_{2}$, … formés respectivement de points de $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, …, on a

$\Psi (e_{1}+e_{2}+\ldots )=\Psi (e_{1})+\Psi (e_{2})+\ldots \leqq \mathrm {P(E_{1})} +\mathrm {P(E_{2})} +\ldots$,

d’où

$\mathrm {P(E_{1}+E_{2}+\ldots )} \leqq \mathrm {P(E_{1})} +\mathrm {P(E_{2})} +\ldots$ ;

mais on peut choisir $e_{i}$ de façon que $\Psi (e_{i})$ surpasse ${\mathrm {P} (\mathrm {E} _{i})-{\frac {\varepsilon }{2^{i}}}}$ si ${\mathrm {P} (\mathrm {E} _{i})}$ est supérieure à 0 [si ${\mathrm {P} (\mathrm {E} _{i})=0}$, on laisse de côté cette valeur de $i$], et alors on a

$\Psi (e_{1}+e_{2}+\ldots )=\Psi (e_{1})+\Psi (e_{2})+\ldots >\mathrm {P(E_{1})} +\mathrm {P(E_{2})} +\ldots -\varepsilon$,

ou

$\mathrm {P(E_{1}+E_{2}+\ldots )} >\mathrm {P(E_{1})} +\mathrm {P(E_{2})} +\ldots -\varepsilon$.

L’additivité complète de $\mathrm {P}$ résulte de la comparaison de ces deux inégalités.

La fonction $\mathrm {P(E)}$ est dite la variation totale positive de $\Psi$ dans $\mathrm {E}$, $\mathrm {N(E)}$ est sa variation totale négative,

$\mathrm {V(E)=P(E)+N(E)}$

1. Je n’explicite plus qu’il s’agit d’une fonction prenant une valeur déterminée et finie pour chaque ensemble mesurable formé avec les points d’un intervalle ${(a,b)}$ ou d’un ensemble mesurable ${\mathcal {E}}$, cas que l’on ramène au précédent.