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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

les deux intervalles ${(x_{0}-h,x_{0})}$ , ${(x_{0},x_{0}+h)}$ ; il est clair que $\Psi (\mathrm {E} )$ est non bornée dans l’un des deux. Ceci étant, pour démontrer que toute fonction finie complètement additive est bornée, il nous suffira donc de considérer le cas où l’extrémité $b$ de l’intervalle considéré ${(a,b)}$ ^[1] est un point où une fonction $\Psi (\mathrm {E} )$ est non bornée et de montrer que $\Psi (\mathrm {E} )$ ne peut être à la fois finie et complètement additive. Soient $a$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , … une suite de valeurs croissantes tendant vers $b$ . Désignons par $\delta _{1}$ , $\delta _{2}$ , $\delta _{3}$ , … les ensembles de points définis respectivement par

a\leqq x<a_{1}

,

a_{1}\leqq x<a_{2}

,

a_{2}\leqq x<a_{3}

,….

Soient $\mathrm {N} _{1}$ , $\mathrm {N} _{2}$ , … les bornes supérieures de $|\Psi (\mathrm {E} )|$ respectivement pour les ensembles formés de points de $\delta _{1}$ , $\delta _{2}$ , …

Si $\mathrm {E}$ est un ensemble formé de points de ${(a_{k},b)}$ et si $\mathrm {E} _{i}$ est la partie commune à $\mathrm {E}$ et à $\delta _{i}$ on a, $\Psi$ étant supposée complètement additive,

|\Psi (\mathrm {E} )|=\left\vert \Psi \!\left[{\textstyle \sum \mathrm {E} _{i}}\right]\right\vert \leqq {\textstyle \sum |\Psi (\mathrm {E} _{i})|}\leqq \sum _{k}^{\infty }\mathrm {N} _{i}

;

puisque $\Psi (\mathrm {E} )$ n’est pas bornée au point $b$ , la série du dernier membre est divergente quel que soit $k$ . Elle peut d’ailleurs contenir des termes infinis.

Soit enfin $e_{i}$ un ensemble formé de points de $\delta _{i}$ et pour lequel ${|\Psi (e_{i})|}$ surpasse le plus petit $\mathrm {M} _{i}$ des deux nombres ${\mathrm {N} _{i}-{\frac {1}{i}}}$ et $i$ ; la série $\textstyle \sum \mathrm {M} _{i}$ est divergente. Si l’on partage les $e_{i}$ en ceux qui donnent à $\Psi (e_{i})$ des valeurs positives ou nulles, et ceux pour lesquels $\Psi (e_{i})$ a des valeurs négatives, si $i'$ et $i''$ désignent respectivement les indices des premiers et des seconds, l’une au moins des séries $\textstyle \sum \mathrm {M} _{i'}$ , $\textstyle \sum \mathrm {M} _{i''}$ est divergente. Supposons que la première soit divergente. Alors on a

\textstyle \Psi (\sum e_{i'})=\sum \Psi (e_{i'})>\textstyle \sum \mathrm {M} _{i'}=+\infty

,

↑ S’il s’agissait d’une fonction $\Psi (\mathrm {E} )$ définie seulement pour les ensembles mesurables formés des points d’un ensemble mesurable donné ${\mathcal {E}}$ , on étendrait la définition de $\Psi (\mathrm {E} )$ à tous les ensembles mesurables formés de points d’un intervalle ${(a,b)}$ contenant ${\mathcal {E}}$ en convenant que, par définition, pour un tel ensemble $\mathrm {E}$ dont la partie commune avec ${\mathcal {E}}$ est $e$ , on a ${\Psi (\mathrm {E} )=\Psi (e)}$ ; et que, si $e$ n’existe pas, ${\Psi (\mathrm {E} )=0}$ . On pourra donc toujours supposer qu’il s’agit d’une fonction définie pour tous les ensembles mesurables d’un intervalle ${(a,b)}$ .

[1] S’il s’agissait d’une fonction $\Psi (\mathrm {E} )$ définie seulement pour les ensembles mesurables formés des points d’un ensemble mesurable donné ${\mathcal {E}}$ , on étendrait la définition de $\Psi (\mathrm {E} )$ à tous les ensembles mesurables formés de points d’un intervalle ${(a,b)}$ contenant ${\mathcal {E}}$ en convenant que, par définition, pour un tel ensemble $\mathrm {E}$ dont la partie commune avec ${\mathcal {E}}$ est $e$ , on a ${\Psi (\mathrm {E} )=\Psi (e)}$ ; et que, si $e$ n’existe pas, ${\Psi (\mathrm {E} )=0}$ . On pourra donc toujours supposer qu’il s’agit d’une fonction définie pour tous les ensembles mesurables d’un intervalle ${(a,b)}$ .

[1]