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CHAPITRE VIII.

bornée, l’intégrale indéfinie de $f(x)$ est à variation bornée et sa variation totale dans ${(a,b)}$ est au plus $\left\vert \int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x\right\vert$.

Les propositions trouvées au Chapitre V (p. 73) relativement à la limitation des nombres dérivés de $\mathrm {F} (x)$ à l’aide des maxima et des minima de $f(x)$ sont encore exactes ; elles se démontrent de même^[1]. Ceci conduit tout naturellement à étudier la dérivation des intégrales indéfinies et la recherche des fonctions primitives ; mais, tout d’abord, nous allons donner aux mots intégrale indéfinie une signification nouvelle.

D’où vient la dénomination intégrale indéfinie ? Il est clair que dans les expressions intégrale définie et intégrale indéfinie, indéfinie n’a pas le sens de infinie mais de non définie, que définie a le sens de déterminée. Ces deux expressions devraient donc s’appliquer à la même quantité ${\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x}$ ; cette intégrale serait dite définie lorsque l’intervalle d’intégration ${(\alpha ,\beta )}$ serait lui-même défini, c’est-à-dire déterminé, donné et elle serait dite indéfinie lorsque ${(\alpha ,\beta )}$ serait indéfini, c’est-à-dire non défini, non déterminé, inconnu, variable. En revenant à ce sens primitif des dénominations, nous dirons donc que l’intégrale indéfinie de $f(x)$ est la fonction ${\Phi (\alpha ,\beta )}$

$\Phi (\alpha ,\beta )=\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x=\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )$ ;

ce sera une fonction de deux variables ou mieux une fonction de l’intervalle d’intégration ${(\alpha ,\beta )}$ ; le mot fonction signifiant ici correspondance, comme à la page 17. Mais il s’agit maintenant de faire correspondre à tout intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ un nombre ; ${(\alpha ,\beta )}$ est la variable ou argument de notre fonction, le nombre est la valeur de la fonction. L’intégrale indéfinie est une fonction d’intervalle : toute valeur prise par cette fonction est une intégrale définie.

La relation qui lie ${\Phi (\alpha ,\beta )}$ à $\mathrm {F} (x)$ permet de traduire toute propriété de $\mathrm {F} (x)$ en propriété de ${\Phi (\alpha ,\beta )}$ et inversement, et c’est

1. Seulement on peut maintenant se servir des maxima et minima obtenus en négligeant les ensembles de mesure nulle, car si l’on modifie la valeur d’une fonction aux points d’un tel ensemble, on ne modifie pas l’intégrale de cette fonction.