Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/157

---

CHAPITRE VIII.

L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

---

I. — Les trois intégrales indéfinies. Les fonctions additives d’ensemble.

Nous appellerons intégrale indéfinie de $f(x)$ l’une quelconque des fonctions

$\mathrm {F} (x)=\int _{\alpha }^{x}f(x)\,\mathrm {d} x+\mathrm {C}$,

$\mathrm {C}$ étant une constante ; l’intégrale définie de $f(x)$ dans ${(a,b)}$ est l’accroissement ${\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)}$ de l’intégrale indéfinie dans l’intervalle ${(a,b)}$.

Les intégrales indéfinies sont des fonctions continues. Si $f(x)$ est une fonction bornée, cela est évident en vertu du théorème des accroissements finis. Supposons ensuite $f(x)$ sommable mais non bornée, alors on peut trouver $\mathrm {N}$ assez grand pour que les intégrales de $f(x)$ dans les deux ensembles ${\mathrm {E} (f>\mathrm {N} )}$, ${\mathrm {E} (f<-\mathrm {N} )}$ soient toutes deux inférieures en module à $\varepsilon$. Posons ${f=f_{1}+f_{2}}$, $f_{1}$ étant nulle pour les deux ensembles ${\mathrm {E} (f>\mathrm {N} )}$, ${\mathrm {E} (f<-\mathrm {N} )}$ et $f_{2}$ étant nulle pour ${\mathrm {E} (-\mathrm {N} \leqq f\leqq \mathrm {N} )}$. Alors l’intégrale indéfinie de $f_{1}$ est une fonction continue ; l’intégrale de $f_{2}$ dans tout intervalle étant $2\varepsilon$, au plus, autour d’un point quelconque $x_{0}$, on peut donc trouver un intervalle dans lequel l’accroissement de $\mathrm {F} (x)$ soit au plus $3\varepsilon$, ce qui prouve que $\mathrm {F} (x)$ est continue.

Si $f(x)$ est sommable, $|f(x)|$ l’est aussi et, dans tout intervalle, l’intégrale indéfinie de $f(x)$ subit un accroissement en module au plus égal à celui de l’intégrale indéfinie de $|f(x)|$ ; puisque cette dernière intégrale existe et est croissante, donc à variation