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CHAPITRE VII.

domaine $\Delta$ découpe sur $\mathrm {C}$ des arcs correspondant à certains intervalles de variation pour $t$ , soient $\delta$ ces intervalles. Un domaine $\Delta$ peut d’ailleurs avoir des points de sa frontière communs avec $\mathrm {C}$ , ces points ne formant pas d’intervalles ; nous négligeons ces points et nous ne nous occupons que des intervalles. (0, 1) est évidemment couvert avec les $\delta$ , donc avec un nombre fini d’entre eux, d’après le théorème de M. Borel pour le cas de la droite, et, par suite, $\mathrm {D}$ est couvert avec les $\Delta$ en nombre fini qui correspondent à ces $\delta$ .

Cette propriété démontrée, la suite des raisonnements et des définitions se poursuit comme dans le cas de la droite, les intervalles étant toujours remplacés par des carrés. Comme dans le cas de la droite on définit les ensembles mesurables, les ensembles mesurables B, et l’on démontre à leur sujet les mêmes propriétés.

Il ne faut pas confondre la mesure des ensembles de points dans le plan avec celle des ensembles de points d’une droite ; nous les distinguerons lorsqu’il y aura doute en les qualifiant mesure superficielle $m_{s}$ et mesure linéaire $m_{l}$ ^[1].

Arrivons à la définition de l’intégrale.

À toute fonction $f(x)$ attachons les deux ensembles superficiels

{\begin{aligned}\mathrm {E} [f(x)>0,f(x)\geqq y\geqq 0]&=\mathrm {E} _{1}[f]{\text{,}}\\\mathrm {E} [f(x)<0,0\geqq y\geqq f(x)]&=\mathrm {E} _{2}[f]{\text{ ;}}\end{aligned}}

par analogie avec ce qui a été fait précédemment (Chap. III, p. 46), il est naturel d’appeler intégrale de la fonction $f$ la quantité

\mathrm {I} =m_{s}[\mathrm {E} _{1}(f)]-m_{s}[\mathrm {E} _{2}(f)]

.

Étudions dans quels cas cette définition s’applique ; nous allons démontrer que c’est lorsque la fonction $f$ est mesurable et seulement dans ce cas. Pour cela, il suffira évidemment de le démontrer pour la fonction $\varphi (x)$ égale à $f(x)$ quand $f(x)$ n’est pas négative,

leurs il n’existe pas toujours de courbe, analogue à celle de M. Peano, qui les remplisse exactement. Une petite modification du raisonnement du texte serait nécessaire dans ce cas ; mais il est inutile de l’envisager ici.

↑ Ces définitions permettent de définir les fonctions mesurables de deux variables et les intégrales doubles relatives à ces fonctions. Je ne m’occuperai ni de ces questions ni de quelques autres qu’on peut y rattacher, comme l’intégration par parties et l’intégration sous le signe somme.

[1] Ces définitions permettent de définir les fonctions mesurables de deux variables et les intégrales doubles relatives à ces fonctions. Je ne m’occuperai ni de ces questions ni de quelques autres qu’on peut y rattacher, comme l’intégration par parties et l’intégration sous le signe somme.

[1]