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CHAPITRE VII.

Mais de même, on trouvera

${\overline {\mathrm {S} }}\geqq \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$.

D’où il résulte

$\mathrm {M} \geqq \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\geqq m$.

Mais il suffit de prendre les $\mathrm {E} _{n}$ identiques aux $e_{n}$ pour que la différence ${{\overline {\mathrm {S} }}-{\underline {\mathrm {S} }}}$ soit au plus égale à ${\varepsilon (b-a)}$. Donc ${\mathrm {M} =m}$.

L’analogie de la définition de M. W.-H. Young et de celle de Riemann (exposée p. 24) est évidente. Remarquons que notre définition constructive de l’intégrale est aussi très analogue à celle de Riemann ; seulement, alors que Riemann divisait en petits intervalles partiels l’intervalle de variation de $x$, c’est l’intervalle de variation de $f(x)$ que nous avons subdivisé.

Cette façon d’opérer s’imposait et ses avantages sont évidents. Lorsque l’on forme la somme ${\mathrm {S} =\textstyle \sum f(\xi _{i})(x_{i+1}-x_{i})}$ pour une fonction continue $f(x)$, on groupe des valeurs de $x$ fournissant des valeurs peu différentes de $f(x)$ et c’est parce que ces valeurs sont peu différentes qu’on peut les remplacer dans $\mathrm {S}$ par l’une d’elles $f(\xi _{i})$. Mais, si $f(x)$ est discontinue, il n’y a plus aucune raison que des choix d’intervalles ${(x_{i},x_{i+1})}$ de plus en plus petits conduisent à grouper des valeurs de $f(x)$ de moins en moins différentes. Et c’est pourquoi le procédé de Riemann ne réussit que rarement et en quelque sorte par hasard. Puisque nous voulons grouper des valeurs peu différentes de $f(x)$, il est bien clair que nous devons, comme nous l’avons fait dans ce Chapitre, subdiviser l’intervalle de variation de $f(x)$ et non l’intervalle de variation de $x$.

On peut encore dire, en adoptant un langage en usage au xvii^e siècle : celui des indivisibles, que nous avons à faire la somme des divers indivisibles attachés à la fonction donnée $f(x)$, c’est-à-dire des ordonnées positives ou négatives des points ${[x,y=f(x)]}$. Pour cela, nous avons fait comme en Algèbre quand on effectue la réduction des termes semblables, comme en Arithmétique quand, pour additionner des nombres, on fait la somme des chiffres unités, puis des chiffres dizaines, etc., nous avons réuni les indivisibles de même grandeur ou à peu près de la même grandeur.

Nous allons maintenant effectuer la sommation de ces indivi-