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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

C’est surtout pour le calcul effectif des intégrales de fonctions données par des développements en série qu’il importe de connaître des cas d’intégration terme à terme. M. Vitali a écrit sur ce sujet un très important Mémoire que je ne puis ici que signaler^[1] ; je me borne à donner un cas d’intégration un peu plus étendu que les précédents :

Une série convergente de fonctions $f_{n}$ sommables est intégrable terme à terme lorsque tous ses restes $r_{n}(x)$ sont, en module, inférieurs à une fonction sommable déterminée $\varphi (x)$

$|r_{n}(x)|\leqq \varphi (x)$.

Soit $f(x)$ la somme de la série. L’inégalité évidente

$|f(x)|=|f_{1}(x)+r_{1}(x)|\leqq |f_{1}(x)|+\varphi (x)$

montre que $f(x)$ est sommable. Ceci étant, partageons l’intervalle ou l’ensemble $\mathrm {E}$ dans lequel on intègre en trois ensembles mesurables sans points communs deux à deux : le premier $\mathrm {A}$ de ces ensembles est formé des points en lesquels $\varphi (x)$ surpasse un nombre $\mathrm {N}$, le second $\mathrm {B} _{p}$ est formé des points n’appartenant pas à $\mathrm {A}$ et en lesquels le reste $r_{p}$ est en module inférieur à $\varepsilon$, les points restants forment $\mathrm {C} _{p}$. On a

$\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{\mathrm {E} }f_{p}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\mathrm {A} }r_{p}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\mathrm {B} _{p}}r_{p}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\mathrm {C} _{p}}r_{p}(x)\,\mathrm {d} x{\text{ ;}}$
$\left\vert \int _{\mathrm {A} }r_{p}\,\mathrm {d} x\right\vert \leqq \int _{\mathrm {A} }|r_{p}|\,\mathrm {d} x\leqq \int _{\mathrm {A} }\varphi \,\mathrm {d} x{\text{,}}$

supposons choisi $\mathrm {N}$ de façon que ${\int _{\mathrm {A} }\varphi (x)\,\mathrm {d} x}$ soit inférieur à $\varepsilon$ :

${\begin{aligned}\left\vert \int _{\mathrm {B} _{p}}r_{p}\,\mathrm {d} x\right\vert &\leqq \int _{\mathrm {B} _{p}}|r_{p}|\,\mathrm {d} x\leqq \int _{\mathrm {B} _{p}}\varepsilon \,\mathrm {d} x=\varepsilon \,m(\mathrm {B} _{p})\leqq \varepsilon \,m(\mathrm {E} ){\text{ ;}}\\\left\vert \int _{\mathrm {C} _{p}}r_{p}\,\mathrm {d} x\right\vert &\leqq \int _{\mathrm {C} _{p}}|r_{p}|\,\mathrm {d} x\leqq \int _{\mathrm {C} _{p}}\mathrm {N} \,\mathrm {d} x=\mathrm {N} \,m(\mathrm {C} _{p}){\text{.}}\end{aligned}}$

Or, quand $p$ augmente indéfiniment, $m(\mathrm {C} _{p})$ tend vers zéro, car l’ensemble $\mathrm {C} _{p}$ est contenu dans tous ceux d’indice moindre et il n’y a pas de points communs à tous les $\mathrm {C} _{p}$ puisqu’en un tel point

1. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. 23, 1907.