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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.
étendues à un intervalle, mais, par le passage de à , nous pouvons toujours supposer qu’il en est ainsi.
Nous avons dit, il y a un instant, que si l’on fait augmenter indéfiniment tend vers , donc tend vers zéro. Prenons assez grand pour que soit inférieur à ; il en sera de même de , a fortiori. Or, d’après la condition 6 pour les fonctions mesurables bornées et , tend vers . Donc, on a
et la proposition en résulte de suite.
Ce cas d’intégration terme à terme des suites peut, comme précédemment, être transformé en cas d’intégration terme à terme des séries : une série convergente de fonctions non négatives, dont tous les termes et la somme sont sommables dans un ensemble , est intégrable terme à terme dans [1].
Appliquons ceci au cas particulier suivant : Soit une fonction sommable dans un ensemble mesurable ; partageons en un nombre fini ou en une infinité dénombrable d’ensembles mesurables , sans point commun deux à deux et soit la fonction égale à dans et nulle en dehors de . La proposition précédente sur l’intégration des séries peut être appliquée à
,
en supposant toujours positive ou nulle, or
,
donc
.
- ↑ C’est le cas d’intégration dit des suites ou séries monotones. Une série est dite monotone si la suite des sommes de cette série est monotone, c’est-à-dire jamais décroissante ou jamais croissante.