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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

vers $+\infty$,

$\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x=\lim \int _{a}^{b}f_{\mathrm {M,N} }\,\mathrm {d} x$,

car les valeurs approchées des deux membres sont $\sigma$ et la limite de la contribution dans $\sigma$ des termes à indices compris entre $-m$ et $n$, quand $m$ et $n$ augmentent indéfiniment^[1]. On aurait la même égalité si l’on avait assujetti $f_{\mathrm {M,N} }$ à être respectivement égale à $-\mathrm {M}$ et $+\mathrm {N}$, au lieu d’être nulle, quand $f$ est respectivement inférieure à $-\mathrm {M}$ ou supérieure à $+\mathrm {N}$.

On ne connaît aucune fonction bornée non sommable, il est facile au contraire de citer des fonctions non bornées non sommables. La fonction nulle pour ${x=0}$ et égale à

$\left(x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2}}}\right)'=2x\sin {\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {2}{x}}\cos {\frac {1}{x^{2}}}$

en est un exemple ; cependant cette fonction peut être intégrée par les méthodes de Cauchy et de Dirichlet développées au Chapitre I. On pourra, dans certains cas, appliquer ces méthodes aux fonctions non sommables pour définir leur intégrale ; nous reviendrons sur cette généralisation, bornons-nous pour l’instant aux fonctions sommables.

Mais nous allons faire subir à cette notion une nouvelle extension : supposons qu’une fonction $f(x)$ ne soit donnée, ou ne soit considérée qu’aux points d’un ensemble $\mathrm {E}$ ; nous pourrons encore former des ensembles ${\mathrm {E} [l_{i}\leqq f(x)<l_{i+1}]}$ quels que soient $l_{i}$ et $l_{i+1}$, mais maintenant ces ensembles seront tous contenus dans $\mathrm {E}$. Si ces ensembles sont mesurables, quels que soient $l_{i}$ et $l_{i+1}$, nous dirons que $f$ est mesurable dans $\mathrm {E}$. Remarquons que ceci entraîne que $\mathrm {E}$ lui-même soit mesurable car $\mathrm {E}$ est la somme des différents ${\mathrm {E} [l_{i}\leqq f(x)<l_{i+1}]}$ relatifs à un choix des nombres $l_{i}$.

Si $f$ est mesurable dans $\mathrm {E}$, on peut donc former $\sigma$ et $\Sigma$. Si l’une de ces sommes est convergente, auquel cas les deux le sont, $f$ est dite sommable dans $\mathrm {E}$, et l’intégrale de $f$ étendue à $\mathrm {E}$, ${\int _{\mathrm {E} }f\,\mathrm {d} x}$,

1. La réciproque est exacte, c’est-à-dire que si $\int _{a}^{b}f_{\mathrm {M,N} }\,\mathrm {d} x$ tend vers une limite déterminée quand on fait tendre $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ vers $+\infty$ indépendamment et de façon arbitraire, $f(x)$ est sommable et son intégrale est la limite considérée.