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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.
intégrales. Désignons par
et
les deux ensembles
![{\displaystyle \mathrm {E} [l_{i}\leqq f(x)<l_{i+1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af0e81d6eb820fd4537f70cc41e1dd2c2c25059)
,
![{\displaystyle \mathrm {E} [l_{i}\leqq g(u)<l_{i+1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f44528d2adb1cda5edb1108493df9647fee31a6)
,
on a
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&\sigma (f)&{}={}&\sum _{i=0}^{i=n-1}l_{i}\,m(\mathrm {F} _{i})&{}={}&l_{n-1}\,m(\mathrm {F} _{0}+\mathrm {F} _{1}+\ldots +\mathrm {F} _{n-1})\\&&&&&{}-{}\sum _{i=0}^{i=n-2}(l_{i+1}-l_{i})\,m(\mathrm {F} _{0}+\mathrm {F} _{1}+\ldots +\mathrm {F} _{i}){\text{,}}\\&\sigma (g)&{}={}&\sum _{i=0}^{i=n-1}l_{i}\,m(\mathrm {G} _{i})&{}={}&l_{n-1}\,m(\mathrm {G} _{0}+\mathrm {G} _{1}+\ldots +\mathrm {G} _{n-1})\\&&&&&{}-{}\sum _{i=0}^{i=n-2}(l_{i+1}-l_{i})\,m(\mathrm {G} _{0}+\mathrm {G} _{1}+\ldots +\mathrm {G} _{i}){\text{.}}\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/116b00dd2cd40b291a33e232af1cfd9ca85385a1)
Or, à cause de
,
contient
![{\displaystyle {\mathrm {G} _{0}+\mathrm {G} _{1}+\ldots +\mathrm {G} _{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f23ec954b17d3b942ad5ffd891383f2da8f307)
et, pour
, ces deux ensembles sont identiques. Donc les premiers termes de
et
sont égaux et les autres termes sont plus petits, en valeur absolue, dans
que dans
, ce qui prouve la première inégalité
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x\leqq \int _{a}^{b}g\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0afd93a842a7b432bd998a88d7a16a1478a4fd82)
.
Puisque l’on a
![{\displaystyle g\leqq f+\eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f5637061037ca46f8b2cdaa0e5ebfb0e8f1ff1)
,
on a donc
![{\displaystyle \int _{a}^{b}g\,\mathrm {d} x\leqq \int _{a}^{b}(f+\eta )\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1242e55bd1c444f2d63c39bd6a81c9285c1d555f)
;
pour calculer cette dernière intégrale de façon approchée servons-nous des nombres
,
,
; il est clair que l’on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (f+\eta )&=\sum _{i=0}^{i=n-1}(l_{i}+\eta )\,m(\mathrm {F_{i}} )\\&=\sum _{i=0}^{i=n-1}l_{i}\,m(\mathrm {F_{i}} )+\eta \sum _{i=0}^{i=n-1}m(\mathrm {F_{i}} )=\sigma (f)+(b-a)\eta {\text{.}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66dd458710f0fe889ed76ed10485f5426a77969e)
d’où
![{\displaystyle \int _{a}^{b}g\,\mathrm {d} x\leqq \int _{a}^{b}(f+\eta )\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x+\eta (b-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e3c0fa2bcfa26d34aeb21dacc7054c35d7f371)
.
On peut encore dire que si deux fonctions diffèrent de moins