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CHAPITRE VII.
Nous complétons cette définition en posant
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb59b121f9fb56adb4f54eefe795612ab34a043)
.
Il reste à voir si l’intégrale satisfait bien aux conditions du problème d’intégration[1].
Débarrassons-nous tout d’abord des conditions 1, 2, 4, 5. Il n’y a rien à dire pour cette dernière. La condition 4 résulte de ce que
, par exemple, est positif quand
est positive ou nulle.
La condition 1 résulte, pour le cas d’un intervalle positif, de ce que les sommes
formées pour les deux intégrales
,
, à l’aide des mêmes nombres
, sont identiques. Et de là on passe au cas d’un intervalle négatif.
Pour vérifier la condition 2 il suffit évidemment d’examiner le cas
; alors si l’on se sert des mêmes
pour calculer les valeurs approchées
,
,
des intégrales
![{\displaystyle {\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79edd1a1817ff4e1ba1ea1a8e8819fe2280b1102)
,
![{\displaystyle {\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ade14d9f8902a5265101041e7d7e209d59531d)
,
![{\displaystyle {\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30439ff5944eb00d38af66e8d8a75e7e0b47f19)
,
on a évidemment
![{\displaystyle \sigma _{a}^{b}=\sigma _{a}^{c}+\sigma _{c}^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/333b94b424617f34b63e096e496f4db3f0babcdd)
;
car on a des égalités analogues entre les mesures des ensembles correspondants qui interviennent dans ces trois sommes
.
Reste donc les conditions 3 et 6 qu’il suffira de vérifier pour un intervalle
positif et, pour cela, démontrons d’abord que, dans un tel intervalle, on a
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x\leqq \int _{a}^{b}g\,\mathrm {d} x\leqq \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x+\eta (b-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393ff8e731f2a0039902b8ecafa77fc2a7e61463)
,
lorsque l’on a
![{\displaystyle f\leqq g\leqq f+\eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef6678b8af6bf661567c5a7a2c34c08c8e750ef3)
,
Servons-nous des mêmes nombres convenablement choisis,
,
,
pour calculer des valeurs approchées
et
des deux
- ↑ Pour le cas où il existerait des fonctions non mesurables, il faut ajouter qu’on s’astreint à la considération des seules fonctions mesurables.