tions mesurables, toutes les opérations dont il a été parlé au sujet des fonctions intégrables (p. 30) sans cesser d’obtenir des fonctions mesurables. Mais il y a plus : la limite d’une suite convergente de fonctions mesurables est une fonction mesurable ; si tend vers , on obtient en effet un ensemble , en faisant la somme des ensembles ; étant la partie commune aux ensembles , , …, et tous ces ensembles sont mesurables si les fonctions sont mesurables.
![{\displaystyle {\mathrm {E} [\alpha \leqq f(x),\alpha <f(x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24bbbc5c74cea608727403c9c8e98630106cb600)
![{\displaystyle {\mathrm {E} [f_{n}(x)<\alpha ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50879d4b61c1a9cbc303595c0c7c6a3211499f97)
![{\displaystyle {\mathrm {E} [f_{n+1}(x)<\alpha ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1b6b306561de462ef5240dc553898b38a2bf8f)
Appliquons ces résultats ; les deux fonctions , sont évidemment mesurables, donc tout polynôme est mesurable. Toute fonction limite de polynômes est aussi mesurable : donc, d’après un théorème de Weierstrass, toute fonction continue est mesurable. Les fonctions discontinues limites de fonctions continues, que M. Baire appelle fonctions de première classe, sont mesurables. Les fonctions qui ne sont pas de première classe et qui sont limites de fonctions de première classe (M. Baire les appelle fonctions de seconde classe) sont des fonctions mesurables.
Remarquons encore que les fonctions ainsi formées de proche en proche sont mesurables B, c’est-à-dire que les ensembles qui leur correspondent sont mesurables B ; ce sont ces fonctions que nous rencontrerons uniquement.
On peut souvent démontrer qu’une fonction est mesurable en se servant de la propriété suivante : si, en faisant abstraction d’un ensemble de valeurs de de mesure nulle, la fonction est continue, elle est mesurable. Car les points limites de l’ensemble qui ne font pas partie de cet ensemble font nécessairement partie de l’ensemble de mesure nulle négligé, donc ils forment un ensemble de mesure nulle. L’ensemble , étant fermé à un ensemble de mesure nulle près, est mesurable. On voit ainsi, en particulier, que toute fonction intégrable au sens de Riemann est mesurable ; on voit aussi que la fonction de Dirichlet, qui est non intégrable, est mesurable.
![{\displaystyle {\mathrm {E} [\alpha \leqq f(x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/004da168819f48c7fe8b85e882cf4a99c9284338)
IV. — Définition constructive de l’intégrale.
Définissons maintenant l’intégrale d’une fonction mesurable bornée en supposant l’intervalle d’intégration positif. Nous
